如果对于所有x,|f(x)|<=|x|^9,证明f在0处可导。
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证明函数在某一点处可导就是用定义：
lim [f(m+t)-f(m)]/t=M ,t趋近于0 ; f(m)=M.
对于这道题，|f(0)|<=0^9=0
又因为|f(0)|>=0
所以f(0)=0;
那么lim [f(0+t)-f(0)]/t=lim f(t)/t ,t趋近于0，看看这个极限是不是等于0
对于给出的|f(x)|<=|x|^9，当x不等于0时，左右两边除以|x|得
|f(x)/x|<=|x|^8
所以当x趋近于0时，lim |f(x)/x|<= lim|x|^8=0
又因为绝对值，lim |f(x)/x>=0|
所以lim |f(x)/x|=0
因此lim f(x)/x=0 , 当x趋近于0时
那么就有了lim [f(0+t)-f(0)]/t=lim f(t)/t=0=f(0)
所以在0附近可导了
不知道这道题告没告诉你f(x)连续，因为可导是一定得先连续的，连续证明如下
当x趋近于0时，lim|f(x)|<=lim|x|^9=0
又因为绝对值大于等于零，所以lim|f(x)|>=0
因此lim|f(x)|=0=limf(x)
所以limf(x)=0=f(0)，x趋近于0
所以x在0附近连续
