四点共圆
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发布时间：2022-04-25 00:33
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时间：2023-10-17 19:05
证明:(反证法),假设A,B,C,D四点不在同一个圆上.过A,B,C三点作圆,点D可能在圆内或圆外.
(1)当点D在圆内时,如左图:
延长BD,交圆于E,连接CE,则:∠BDC>∠E.(三角形外角的性质)
∵∠BAC=∠E;(同弧所对的圆周角相等);
∠BAC=∠BDC.(已知)
∴∠BDC=∠E.这与三角形外角的性质相矛盾.
故:点D不在圆内.
(2)当点D在圆外时,如右图,连接BD,交圆于E,连接CE,则:∠BEC>∠D.
∵∠BAC=∠BDC(已知);
∠BAC=∠BEC.(同弧所对的圆周角相等)
∴∠BEC=∠BDC.这与三角形外角的性质相矛盾.
故:点D不在圆外.
综合(1),(2)两种情况,所以假设不成立,所以,∠BAC=∠BDC时,点A,B,C,D四点共圆.
