函数值域范文1
关键字：反法、、复合函数
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函数值域的求解是中学数学的一个难点，也是一个重点。求函数值域的方法有很多，反函数法是常用的方法之一，在一些刊物、丛书，甚至中学教师使用的《教学参考书》中也颇常见。但该法一直以来存在很多争议。本文就反函数法求函数值域发表个人的一些看法。
在这之前先给出反函数的定义：
一般地，设函数 的值域是C，根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出，得到 。若对于y在C中的任何一个值，通过 ，x在A中都有唯一的值和它对应，那么， 就表示y是自变量，x是因变量的函数，这样的函数 叫做函数 的反函数，记作 。反函数 的定义域、值域分别是函数 的值域、定义域。
注：函数存在反函数的充要条件是，定义域与值域之间的映射是一一映射。
一、反函数法合理吗？
反函数法的合理性一直遭到质疑，首先我们看个例子：
例1、 求函数 的值域。
解：去分母，得
即(1)
(2)
再由 得(3)
所以函数的值域为 的实数。
对于例1，文[1]认为由(1)式到(2)式的推导并不充分，所以其推导“缺乏依据”；只有(1)式和(3)式合起来才能推出(2)式这样又“导致循环推理”。对于这个问题，文[2]中已经给出了一种合理的解释。在此，笔者也发表自己的一点看法，反函数的定义域是由原函数的值域确定的，由于反函数与原函数的互相依赖的关系，反过来，在满足一定条件的情况下，当然可以由反函数的定义域来确定原函数的值域了。因此，笔者认为反函数法在理论上是毋庸质疑的。
二、这是反函数法吗？
例2、 求 的值域。
解：为了求值域，由原式解出 ,
得
由此得
所以函数的值域是 。
例2在解题过程中符合反函数法的一般步骤，最后的结果也是正确的。但是我们可以发现在反解的过程中得到的x关于y的表达式 中变量y所对应的x并不唯一，即反解得到的解析式不是中学范畴内的函数解析式，所以不存在反函数。例2的结果虽然正确，但只是一种巧合。既然不存在反函数，当然不能用反函数法。
三、存在反函数就一定可以用反函数法吗？
例3、求函数 的值域。
解1：用配方法
由于
，且y在 上为u的增函数
时， 。
解2：用类似于例1、例2的反函数法
由原函数式解出x，得
由此得
函数的值域是 。
易验证，函数 存在反函数，反函数解析式即为 ，由解析式我们只能得到 ，事实上反函数的定义域为 （解1得出的结果是正确的）。由此我们可以看出，并不是只要原函数存在反函数就一定能用反函数法求值域。
四、什么情况可以用反函数法
由上面的讨论我们可以看出，反函数法在理论上是毋容置疑的，但是又受到种种限制，很容易造成错误的使用。因此在什么情况下可以使用反函数法就变得很有意义。
用反函数法求函数值域需满足两个条件：1题目给出的函数应该存在反函数，2 与 同解。
在中学数学所学的初等函数中满足这两个条件的很多，例如指数函数 的反函数是对数函数 ，一次函数 的反函数还是一次函数 ，反比例函数 的反函数是其本身，所有的奇次幂函数 （其中n为奇数）与对应的幂函数 （其中n为奇数）互为反函数。因此它们都可以用反函数法求函数值域。当然他们的值域教材中都已经作为结论给了出来。
显然，由上述这些类型的函数复合而成的函数的值域都可以用反函数法来求。例如形如 类的分式函数就是由一次函数和反比例函数复合而成。再如：
例4、求 的值域
解：由已知函数得
，
解得： 或 ，故函数的值域为 。
五、小结
反函数法作为一种常用的求函数值域的方法在理论上是毋庸质疑的，它有自身的优势也有很大的局限性，因此在采用某种方法之前，我们应当首先确定题目满不满足使用这种方法的条件。
参考文献
[1]孟德酉.反函数法求函数值域质疑[J].数学通报.1990.4
函数值域范文2
关键词：函数值域；解题方法；重要内容；重点难点
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）02-0107
求函数的值域是学生感到棘手的问题，它所涉及的知识面广，方法灵活多样，在考试中经常出现，若方法运用得当，就能起到化繁为简、事半功倍的作用。本文就函数值域的常用求法归纳如下，供参考。
其一，配方法：主要是针对二次函数或可化成二次函数型的最值及值域问题，可用此法。
例：1. 求函数y=-x2+2x+3的值域
解析：y=-（x-1）2+4，当x=1时，y最大=4，所以，值域是（-∞，4]。
2. 求函数y=32x+2・3x-1在[0，1]上的最大值。
解析：令3x=t，则y=t2+2t-1=（t+1）2-2
x∈[0，1]，t∈[1，3]，当t=3时，y最大=14
其二，换元法：若函数表达式中含有根式、分式、指数式、对数式等，可考虑用此方法：
例：1. 求函数f（x）=x+2 的最大值。
解析：方法一：设 =t t≥0，x=1-t2
y=-（t-1）2+2，当t=1即x=0时，y最大=2
方法二：利用导数法，定义域是{x/x≤1}
f ′（x）=1- 由f ′（x）=0，得x=0
当x0，f（x）为增函数
当0
当x=0时，f（x）最大=f（0）=2
2. 求函数y=x+y=x+ 的值域
解析：换元法 由4-x2≥0，知-2≤x≤2
设x=2cos，θ∈[0，π]，则y=2cosθ+ =2cosθ+2sinθ=22 （θ+ ）
θ+ ∈[ ， ]，sin（θ+ ）∈[ ，1]
y∈[-2，2 ]
其三，导数法（利用函数单调性）
函数y=ax+ （a>0，b>0）被称为对勾函数，以此为背景的考题，曾是考试热点。
例：谈论函数f（x）=ax+ （a>0，b>0）的单调性
解析：f ′（x）=a- 令f ′（x）=0 ax2-b=0 x=±
当f ′（x）>0 x> 或x
当f ′（x）
f（x）在（-∞，- ]，[ ，+∞）上是增函数
f（x）在[- ，0），（0， ]上是减函数
2. 求函数f（x）=x+ 在[3，+∞]的最小值
解析：此函数是对勾函数，由其性质，知f（x）在[3，+∞]上是增函数，所以，其最小值是 。
其四，分离常数法
例：1. 求函数y= 的值域
解析：y=2+ 其值域是{y/y≠2}
2. 求y= 的值域
解析：法一：分离常数法，y= 由2x-1>-1
知 0，y>1或y
法二：反函数法2x= ，x=log2
由 >0，得y>1或y
3. 求函数y= （x>1）的最小值。
解析：x>-1，x+1>0
原式= =x+1+ +5≥2 +5=9
当且仅当x+1= ，x=1时，等号“=”成立
当x=1时，原函数的最小值为9。（先分离常数，再用不等式法求最小值）
其五，不等式法
例：已知：x>0，y>0 ，且 + =1，求x+y的最小值。
方法一：把求二元函数f（x，y）=x+y，转化为一元函数。由 + =1得y= =9+ ，由x>0y= >0得x>1
x+y=x+9+ =x-1+ +10≥2 +10=16且仅当x-1= 即：x=4时，上式取“=”号
x+y的最小值是16。
方法二：对二元函数也可转化为 + 型函数，然后再用均值不等式。
（上接第107页）
+ =1x+y=（x+y）（ + ）=10+ + ≥16当且仅当 = ，即：x=4，y=12时，上式取“=”号
x+y的最小值为16。
其六，线性规划问题，求目标函数的最值问题
例：已知x，y满足约束条件x≥1x-3y≤-43x+5y≤30
①求目标函数，y=2x+y的最值
②求y= 的取值范围
③求y=x2+y2的取值范围
其七，数形结合法，函数表达式具有明显的某种几何定义，如两点距离、直线斜率等，用此方法会更加简单、一目了然。
例：1. 求函数y= + 的值域
解析：y=x-2+x+8可看成数轴上点x与点2与点-8的距离之和，y∈[10，+∞）
2. 求函数y= = 的值域
解析：上式可变形为：
y= -
= =
上式可看成在坐标平面内动点P（x，0）到定点A（3，2）与B（-2，1），距离之差。
即：y=AP-BP
由AP-BP≤AB=
- ≤y≤
函数值域范文3
例1：求函数y=■的值域。
解：原函数变形为关于x的方程得(y-2)x2+2(y-2)x+3y+7=0。原函数定域为R。上述方程在x∈R内有实根。
（1）当y-2=0时,方程化为13=0在x∈R内无实根,不合题意，故y≠2；
（2）当y-2≠0时, 上述方程为一元二次方程, 要使该方程在x∈R内有实根, 必须满足?驻=4(y-2)2-4(y-2)（3y+7)≥0，解得－■≤y≤2。
综合(1)(2)，得原函数的值域为[－■,2)。
例2：求函数y=■的值域。
解：原函数变形为关于x的方程得：(y-2)x2+x-y-7=0。又原函数的定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)。 所以上述方程在（-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)上有实根。
（1）若y-2=0，方程化为x-3=0，其在上述区间内有实根，此时y=2；
（2）若y-2≠0，方程为一元二次方程，要使其在上述区间内有实根只须?驻=1+4(y-2)(y+1)≥0，y-2+1-y-1≠0，-2-1-y-1≠0，解得y≤■或y≥■。
综合(1)(2)，得原函数值域为(-∞,■ ]∪[■,+∞)。
例3：已知x＞■，求函数f(x)=■的值域。
解：原函数变形为关于x的一元二次方程得x2-(2y+4)x+5+4y=0。原函数定义域为（■,+∞），上述方程在（■,+∞）上有根，则?驻≥0，（x1-■)(x2-■)≥0，x1+x2＞5，或?驻≥0，（x1-■)(x2-■)
即(2y+4)2-4(5+4y)≥0，5+4y-■(2y+4)+■≥0，2y+4≥5，
或2y+4)2-4(5+4y)≥05+4y-■(2y+4)+■＜0，
解得y≥1。原函数的值域为[1,+∞)。
例4：已知函数f(x) =log3■的定义域为R，值域为(0 , 2)， 求m、n的值。
解：f(x) 的值域为(0,2)，■∈[1,9]，设y=■, 则1≤y≤9, 化为关于x的方程为(y-m)x2-8x-y-n=0，由函数定义域为R知，上述方程在R内有实根。
（1）若y-m=0，则上述方程化为一元一次方程8x+m-n=0在R内有实根，此时y=m，又1≤y≤9，所以1≤m≤9。
（2）若y-m≠0，上述方程为一元二次方程,要使其在R内有实根,则?驻=(-8)2-4(y-m)(y-n)≥0，即y2－（m+n）y+（mn－16）≤0。由1≤y≤9 知，关于y的一元二次方程y2－（m+n）y+（mn－16）=0的两根为1和9。由韦达定理得m+n=1+9，mn－16=1×9，解得■
综合（1）（2），得m=n=5。
注意：（1）“判别式法”的解题思想是：函数在D内有意义等价于方程在D内有实根。（2）用判别式之前，必须先考虑x2的系数是否为0。（3）一元二次方程在D内有实根：若D=R，则只须?驻≥0；若D≠R，则除了?驻≥0外，还须考虑实根在D内的具体分布情况。
函数值域范文4
关键字：函数，值域，案例
。
一、出示例题
上例是求函数的值域的一种较常用的方法、即"配凑法"，学生易于掌握，但教学中发现有学生在解答其它例题时也采用此法，如：
二、案例分析
上述学生对例2、例3的误解即反映出学生在解题教学的积极一面，又反映出学生对知识的系统性与思维的全面性的不足，下面作一扼要的分析。
对学生的误解的合理之处，其一是反映出学生已掌握"配凑法"求函数的值域的要点，另一就是学生具备了举一反三的思想。
不足之处就是忽视知识的系统性、严密性。同时，习惯性思维在脑海中也根深蒂固，从而导致知识（或公式）的生般硬套。
①知识性错误：表现在对函数性质的把握上，例一中分母X-1其值域为R，其性质就只需考虑X-1≠0。而例2中涉及指数函数y=a （0a ≠1） 的值域问题，不仅仅是只考虑分母不为0，而且要考虑a 0 这一隐含条件，同时例3中分母x +x-1也需考虑其最小值问题，而学生笼统只要求分母不为0，显然属于思维不全面。
②逻辑性错误：由于例1的存在，故让很多学生错误的认为，如例2、例3类型的题目均可用"配凑法"来解题，这种逻辑思维显然是错误的，很多问题是要求具体问题具体分析。
③心理性错误：表现在人的思维定势及经验主义。往往很多学生在老师讲解某题的特殊解法后，学生把这种解法掌握后，所以在做其它题目不去考虑其它题目的具体特点，往往凭经验或凭已有固定的思路把这些题目和老师讲的例题等同其来，这完全是心理作用在作怪。
④缺乏拓展思维：学生应认识到有很多数学问题，解法不唯一，应提倡学生对同一题目思考多种解法，若多种解法的答案不同，便可自己发现问题，进而进一步思考，从而去伪存真。同时众多的解法中，也宜来用更为简单较好的。如上述例2，事实上也可用反解法解之：
函数值域范文5
一、函数关系式与定义域
函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：
例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式？
解：设矩形的长为x米，则宽为(50－x)米，由题意得：
故函数关系式为： ．
如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量 的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量 取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量 的范围：
即：函数关系式为：（ ）
这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点，就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。
二、函数最值与定义域
函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大(小)值的问题。如果不注意定义域，将会导致最值的错误。如：
例2：求函数 在[－2，5]上的最值．
解：
当 时，
初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化。这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。
其实以上结论只是对二次函数 在R上适用，而在指定的定义域区间 上，它的最值应分如下情况：
⑴ 当 时， 在 上单调递增函数 ；
⑵ 当 时， 在 上单调递减函数 ；
⑶ 当 时， 在 上最值情况是：
，
．即最大值是 中最大的一个值。
故本题还要继续做下去：
函数 在[－2，5]上的最小值是－ 4，最大值是12．
这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生思维的灵活性。
三、函数值域与定义域
函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：
例3：求函数 的值域．
错解：令
故所求的函数值域是 ．
剖析：经换元后，应有 ，而函数 在[0,+∞)上是增函数，
所以当t=0时，ymin=1．
故所求的函数值域是[1, +∞）．
以上例子说明，变量的允许值范围是何等的重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。也就是说，学生若能在解好题目后，检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便体现出良好的思维批判性。
四、函数单调性与定义域
函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：
例4：指出函数 的单调区间．
解：先求定义域：
函数定义域为 ．
令 ，知在 上时，u为减函数，
在 上时， u为增函数。
又 ．
函数 在 上是减函数，在 上是增函数。
即函数 的单调递增区间 ，单调递减区间是 。
如果在做题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明学生对函数单调性的概念一知半解，没有理解，在做练习或作业时，只是对题型，套公式，而不去领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性。
五、函数奇偶性与定义域
判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。如：
例5：判断函数 的奇偶性．
解：
定义域区间[－1,3]关于坐标原点不对称
函数 是非奇非偶函数．
若学生像以上这样的过程解完这道题目，就很好地体现出学生解题思维的敏捷性
如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论：
函数 是奇函数．
错误剖析：因为以上做法是没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成，这是学生极易忽视的步骤，也是造成结论错误的原因。
综上所述，在求解函数函数关系式、最值(值域)、单调性、奇偶性等问题中，若能精细地检查思维过程，思辨函数定义域有无改变(指对定义域为R来说)，对解题结果有无影响，就能提高学生质疑辨析能力，有利于培养学生的思维品质，从而不断提高学生思维能力，进而有利于培养学生思维的创造性。
参考文献：
1． 王岳庭主编数学教师的素质与中学生数学素质的培养论文集北京海洋出版社1998
函数值域范文6
思维品质是指个体思维活动特殊性的外部表现。它包括思维的严密性、思维的灵活性、思维的深刻性、思维的批判性和思维的敏捷性等品质。函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是构成函数的两大要素之一，函数的定义域（或变量的允许值范围）似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途。在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的数学思维品质是十分有益的。
一、函数关系式与定义域
函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：
例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式？
解：设矩形的长为x米，则宽为（50-x）米，由题意得： ，故函数关系式为： .
如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量 的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量 取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量 的范围：
即：函数关系式为： （ ）
这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点，就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。
二、函数最值与定义域
函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大（小）值的问题。如果不注意定义域，将会导致最值的错误。如：例2：求函数 在[-2，5]上的最值.
解： ， 当 时，
初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化。这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。
其实以上结论只是对二次函数 在R上适用，而在指定的定义域区间 上，它的最值应分如下情况： ⑴ 当 时， 在 上单调递增函数 ；
⑵ 当 时， 在 上单调递减函数 ；
⑶ 当 时， 在 上最值情况是：
，
.即最大值是 中最大的一个值。
故本题还要继续做下去：
这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生思维的灵活性。
三、函数值域与定义域
函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：例3：求函数 的值域.错解：令
故所求的函数值域是 .剖析：经换元后，应有 ，而函数 在[0，+∞）上是增函数，所以当t=0时，ymin=1.故所求的函数值域是[1， +∞）.