2020-2021学年安徽省合肥市某校初三（上）9月月考数学试卷
一、选择题
1. 下列𝑦关于𝑥的函数中，属于二次函数的是( ) A.𝑦=𝑥−1
2. 抛物线𝑦=(𝑥−2)2−1的顶点坐标是( ) A.(−2,1)
3. 抛物线𝑦=2(𝑥+3)(𝑥−1)的对称轴的方程是( ) A.𝑥=1
4. 关于二次函数𝑦=2𝑥2+𝑥−1，下列说法正确的是( ) A.图象与𝑦轴的交点坐标为(0,1) B.图象的对称轴在𝑦轴的右侧
C.当𝑥<0时，𝑦的值随𝑥值的增大而减小 D.𝑦的最小值为−8
5. 将抛物线𝑦=𝑥−2𝑥+1向下平移2个单位，再向左平移1个单位，所得抛物线的解析式是( ) A.𝑦=𝑥2−2𝑥−1 B.𝑦=𝑥2+2𝑥−1 C.𝑦=𝑥2−2
6. 点𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，𝐶(𝑥3,𝑦3)都在反比例函数𝑦=−的图象上，且𝑥1<𝑥2<0<𝑥3，则𝑦1，𝑦2，𝑦3的
𝑥3
29
的图形的面积𝑆（图中阴影部分）是( )
B.𝑦=−
𝑥
1
C.𝑦=(𝑥−1)2−𝑥2 D.𝑦=−2𝑥2+1
A.4
D.(2,−1)
9. 反比例函数𝑦=𝑥(𝑘≠0)与二次函数𝑦=𝑥2+𝑘𝑥−𝑘的大致图像是( )
𝑘
B.5 C.6 D.7
B.(−2,−1) C.(2,1)
B.𝑥=−1 C.𝑥= 2
1
D.𝑥=−2
A. B.
C.
D.𝑦=𝑥2+2
D.
10. 已知二次函数𝑦=−𝑥2+𝑥+6及一次函数𝑦=−𝑥+𝑚，将该二次函数在𝑥轴上方的图象沿𝑥轴翻折到𝑥轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线𝑦=−𝑥+𝑚与新图象有4个交点时，𝑚的取值范围是( )
大小关系是( ) A.𝑦3<𝑦1<𝑦2
7. 在平面直角坐标系中，点𝑂是坐标原点，点𝐴是𝑥轴正半轴上的一个动点，过𝐴点作𝑦轴的平行线交反比例函数𝑦=𝑥(𝑥>0)的图象于𝐵点，当点𝐴的横坐标逐渐增大时，△𝑂𝐴𝐵的面积将会( ) A.逐渐增大
8. 将抛物线𝑦=2𝑥2−4𝑥−2向左平移至顶点落在𝑦轴上，如图所示，则两条抛物线，直线𝑦=−4和𝑥轴围成
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2
254
254
B.𝑦1<𝑦2<𝑦3 C.𝑦3<𝑦2<𝑦1 D.𝑦2<𝑦1<𝑦3
A.−
<𝑚<3
B.−
<𝑚<2
C.−6<𝑚<−2
D.−2<𝑚<3
B.逐渐减小 C.不变 D.先增大后减小
二、填空题
当𝑚−2≤𝑥≤𝑚时，函数𝑦=𝑥2−4𝑥+4的最小值为4，则𝑚的值为________.
三、解答题
已知二次函数𝑦=𝑥2−4𝑥+5.
(1)用配方法求该二次函数图像的对称轴和顶点坐标；
(2)观察图像填空，使𝑦随𝑥增大而增大的𝑥的取值范围是________.
已知抛物线𝑦=(𝑥−𝑚)2−(𝑥−𝑚)，其中𝑚是常数． (1)求证：不论𝑚为何值，该抛物线与𝑥轴一定有两个公共点；
(2)若该抛物线的对称轴为直线𝑥=2.5． ①求该抛物线的解析式；
②把该抛物线沿𝑦轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与𝑥轴只有一个公共点?
如图，一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏与反比例函数𝑦=𝑚𝑥
(𝑥<0)的图像相交于点𝐴，点𝐵，与𝑥轴交于点𝐶，其中点
𝐴(−1,3)和点𝐵(−3,𝑛).
(1)填空：𝑚=________，𝑛=________；
(2)求一次函数的解析式和△𝐴𝑂𝐵的面积；
(3)根据图像回答：当𝑥为何值时，𝑘𝑥+𝑏≤𝑚
𝑥（请直接写出答案）________.
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有一座抛物线拱型桥，在正常水位时，水面𝐵𝐶的宽为8米，拱桥的最高点𝐷到水面𝐵𝐶的距离𝐷𝑂为4米，点𝑂是𝐵𝐶的中点，如图，以点𝑂为原点，直线𝐵𝐶为𝑥轴，建立直角坐标系𝑥𝑂𝑦．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)如果水面𝐵𝐶上升3米（即𝑂𝐴=3）至水面𝐸𝐹，点𝐸在点𝐹的左侧，求水面宽度𝐸𝐹的长．
如图，已知抛物线𝑦=𝑥2−(𝑘+1)𝑥+1的顶点𝐴在𝑥轴的负半轴上，且与一次函数𝑦=−𝑥+1交于点𝐵和点𝐶．
(1)求𝑘的值；
(2)求△𝐴𝐵𝐶的面积．
杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端𝐴处弹跳到人梯顶端椅子𝐵处，其身体（看成一点）的路线是抛物线𝑦=−3
5𝑥2+3𝑥+1的一部分，如图．
(1)求演员弹跳离地面的最大高度；
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◎
(2)已知人梯高𝐵𝐶=3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点𝐴的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．
已知：在平面直角坐标系中，已知四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为菱形，且𝐴(0, 3)，𝐵(−4, 0)．
(1)求抛物线的解析式；
(1)求过点𝐶的反比例函数的表达式；
(2)设𝑃是(1)中所求函数图像上一点，以𝑃，𝑂，𝐴为顶点的三角形面积与△𝐶𝑂𝐷的面积相等，求点𝑃的坐标．
合肥某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元．经过市场调查，一周的销售量𝑦件与销售单价𝑥(𝑥≥50)元/件的关系如下表：
(2)是否存在一点𝐷，能使𝐴，𝐵，𝐶，𝐷四点为顶点构成的四边形为菱形，若存在请求出𝐷点坐标，若没有请说明理由；
(3)在(2)问的条件下，𝑃为抛物线上一动点，请求出|𝑃𝐷−𝑃𝐵|取最大值时，点𝑃的坐标.
销售单价𝑥（元/件） 一周的销售量𝑦（件） (1)直接写出𝑦与𝑥的函数关系式：________；
⋯ ⋯ 55 450 60 400 70 300 75 250 ⋯ ⋯ (2)设一周的销售利润为𝑆元，请求出𝑆与𝑥的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？
(3)雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的货款不超过10000元情况下，请你求出该商家最大捐款数额是多少元？
如图，已知抛物线上有三点𝐴(−4,0)，𝐵(1,0)，𝐶(0,−3).
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参考答案与试题解析
2020-2021学年安徽省合肥市某校初三（上）9月月考数学试卷
一、选择题 1.
【答案】 D
【考点】
二次函数的定义 【解析】
本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．𝑦=𝑎𝑥2+
𝑏𝑥+𝑐（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．整理成一般形式，根据二次函数定义即可解答． 【解答】
解：𝐴，该函数中自变量𝑥的次数是1，属于一次函数，故本选项错误； 𝐵，该函数是反比例函数，故本选项错误；
𝐶，由已知函数关系式得到：𝑦=−2𝑥+1，属于一次函数，故本选项错误； 𝐷，该函数符合二次函数定义，故本选项正确． 故选𝐷． 2.
【答案】 D
【考点】
二次函数y=ax^2 、y=a（x-h）^2+k (a≠0)的图象和性质 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：由二次函数顶点式𝑦=𝑎(𝑥−ℎ)2+𝑘的顶点坐标为(ℎ,𝑘), 可得抛物线𝑦=(𝑥−2)2−1的顶点坐标为(2,−1). 故选𝐷. 3. 【答案】 B
【考点】
二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质 【解析】
首先确定抛物线与𝑥轴的两个交点坐标，然后确定对称轴即可． 【解答】
解：令𝑦=2(𝑥+3)(𝑥−1)=0， 解得：𝑥=−3或𝑥=1，
所以抛物线与𝑥轴的两个交点坐标为(−3, 0)和(1, 0)， 所以对称轴为𝑥=故选𝐵．
−3+12
4.
【答案】 D
【考点】
二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质 二次函数的最值
【解析】
根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【解答】
解：𝑦=2𝑥+𝑥−1=2(𝑥+4)−8， 𝐴，当𝑥=0时，𝑦=−1，故本选项错误；
𝐵，该函数的对称轴是直线𝑥=−，在𝑦轴的左侧，故本选项错误；
41
2
12
9
𝐶，当𝑥<−时，𝑦随𝑥的增大而减小，故本选项错误；
4
1
𝐷，当𝑥=−4时，𝑦取得最小值，此时𝑦=−8，故本选项正确. 故选𝐷. 5. 【答案】 C
【考点】
二次函数图象的平移规律 【解析】
将抛物线𝑦=𝑥2−2𝑥+1化为顶点式，再按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可． 【解答】
解：根据题意𝑦=𝑥2−2𝑥+1=(𝑥−1)2， 向下平移2个单位，再向左平移1个单位， 得到的函数解析式为：𝑦=(𝑥−1+1)2−2， 即𝑦=𝑥2−2. 故选𝐶． 6.
【答案】 A
【考点】
反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数的性质 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：反比例函数𝑦=−，其图象在第二、四象限，
𝑥3
19
=−1.
在第二象限的𝑦随𝑥的增大而增大，
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且𝑥1<𝑥2<0<𝑥3，故𝑦3<0<𝑦1<𝑦2. 故选𝐴. 7.
【答案】 C
【考点】
反比例函数系数k的几何意义 【解析】
因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积𝑆是个定值，即𝑆=2|𝑘|，所以当点𝐴的横坐标逐渐增大时，△𝑂𝐴𝐵的面积将不变． 【解答】
解：依题意，△𝑂𝐴𝐵的面积=|𝑘|=1，
21
1
B
【考点】
二次函数的图象 反比例函数的性质
【解析】
根据反函数的图象，𝑦随𝑥的增大而减小，判定𝑘的符号，由此即可判断二次函数的图象． 【解答】
解：𝐴，𝐵中的反比例函数图象在一、三象限，此时𝑘>0，
∴ 二次函数对称轴为𝑥=−<0，故𝐴错误，与𝑦轴交于负半轴，故𝐵正确；
2𝑘
𝐶，𝐷中的反比例函数图象在二、四象限，此时𝑘<0，
∴ 二次函数图象对称轴𝑥=−>0，故𝐷错误，与𝑦轴交于正半轴，故𝐶错误.
2𝑘
所以当点𝐴的横坐标逐渐增大时，△𝑂𝐴𝐵的面积不变． 故选𝐶． 8.
【答案】 A
【考点】
二次函数图象的平移规律 平移的性质
【解析】
根据图形平移后面积不变的性质，可把不规则阴影部分的面积转化为规则图形（平行四边形）的面积即可判断． 【解答】
解：我们把抛物线沿𝑥轴向左平移，平移后的抛物线和原抛物线及直线𝑦=−4，𝑦=0所围成的阴影部分的面积可以看做平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积，
故选𝐵. 10. 【答案】 C
【考点】 翻折问题
一次函数图象与系数的关系 抛物线与x轴的交点 二次函数图象与几何变换 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：如图.
由于𝑦=2𝑥2−4𝑥−2=2(𝑥2−2𝑥+1)−4=2(𝑥−1)2−4， 故抛物线𝑦=2𝑥2−4𝑥−2向左平移至顶点落在𝑦轴上， 则平移距离𝐶𝐷=1，
∴ 𝑆阴影=𝑆平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷=1×4=4. 故选𝐴. 9. 【答案】
当𝑦=0时，−𝑥2+𝑥+6=0，解得𝑥1=−2，𝑥2=3， 则𝐴(−2, 0)，𝐵(3, 0)，
将该二次函数在𝑥轴上方的图象沿𝑥轴翻折到𝑥轴下方的部分图象的解析式为𝑦=(𝑥+2)(𝑥−3)， 即𝑦=𝑥2−𝑥−6(−2≤𝑥≤3)，
当直线𝑦=−𝑥+𝑚经过点𝐴(−2, 0)时，2+𝑚=0，解得𝑚=−2；
当直线𝑦=−𝑥+𝑚与抛物线𝑦=𝑥2−𝑥−6(−2≤𝑥≤3)有唯一公共点时， 方程𝑥2−𝑥−6=−𝑥+𝑚有相等的实数解，解得𝑚=−6，
所以当直线𝑦=−𝑥+𝑚与新图象有4个交点时，𝑚的取值范围为−6<𝑚<−2． 故选𝐶.
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二、填空题
【答案】 0或6 【考点】
二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质 【解析】
先求出对称轴为𝑥=2，借助图像求出最小值，从而求得𝑚的值. 【解答】
解：函数𝑦=𝑥2−4𝑥+4=(𝑥−2)2，对称轴为𝑥=2. 作二次函数图象如图所示.
描点，连线如下图所示.
由图像得，当𝑥>2时，𝑦随𝑥的增大而增大. 故答案为：𝑥>2.
【答案】
(1)证明：𝑦=(𝑥−𝑚)2−(𝑥−𝑚)=𝑥2−(2𝑚+1)𝑥+𝑚2+𝑚. 由题意可得方程：𝑥2−(2𝑚+1)𝑥+𝑚2+𝑚=0，
∵ 𝛥=(2𝑚+1)2−4(𝑚2+𝑚)=1>0，即方程𝑥2−(2𝑚+1)𝑥+𝑚2+𝑚=0必有两个不相等的实数根， ∴ 不论𝑚为何值，该抛物线与𝑥轴一定有两个公共点. (2)解：①由(1)知𝑦=𝑥2−(2𝑚+1)𝑥+𝑚2+𝑚， ∵ 函数的对称轴为𝑥=−
−(2𝑚+1)
2
当𝑦=4时，𝑥=0或𝑥=4.
∵ 𝑚−2≤𝑥≤𝑚时，𝑦=𝑥2−4𝑥+4最小值为4, ∴ 𝑚=0或𝑚−2=4， ∴ 𝑚=0或𝑚=6， 故𝑚的值为0或6． 故答案为：0或6. 三、解答题
【答案】
解：(1)𝑦=𝑥2−4𝑥+5=𝑥2−4𝑥+4+1=(𝑥−2)2+1， ∴ 抛物线的顶点坐标为(2,1)，对称轴为𝑥=2． 𝑥>2
【考点】
二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质 【解析】
（1）根据配方后的结果可以确定顶点坐标和对称轴；
（2）利用顶点坐标和与坐标轴的交点坐标及对称轴即可作出二次函数的图象，根据图象直接回答即可． 【解答】
解：(1)𝑦=𝑥2−4𝑥+5=𝑥2−4𝑥+4+1=(𝑥−2)2+1， ∴ 抛物线的顶点坐标为(2,1)，对称轴为𝑥=2． (2)列表如下.
=2.5，
∴ 𝑚=2，
∴ 抛物线解析式为𝑦=𝑥2−5𝑥+6；
②设抛物线沿𝑦轴向上平移𝑘个单位长度后，得到的抛物线与𝑥轴只有一个公共点， 则平移后抛物线解析式为𝑦=𝑥2−5𝑥+6+𝑘.
∵ 抛物线𝑦=𝑥2−5𝑥+6+𝑘与𝑥轴只有一个公共点， ∴ 𝑥2−5𝑥+6+𝑘=0有两个相等的实数根， ∴ 𝛥=52−4(6+𝑘)=0， ∴ 𝑘=，
41
即把该抛物线沿𝑦轴向上平移4个单位长度后，得到的抛物线与𝑥轴只有一个公共点． 【考点】
二次函数图象与几何变换 根的判别式
【解析】
（1）先把抛物线解析式化为一般式，再计算△的值，得到△=1>0，于是根据△=𝑏2−4𝑎𝑐决定抛物线与𝑥轴的交点个数即可判断不论𝑚为何值，该抛物线与𝑥轴一定有两个公共点； （2）①根据对称轴方程得到=−
−(2𝑚+1)
2
1
=2，然后解出𝑚的值即可得到抛物线解析式；
5
𝑥 𝑦 ⋯ ⋯ 0 5 1 2 2 1 3 2 4 5 ⋯ ⋯ ②根据抛物线的平移规律，设抛物线沿𝑦轴向上平移𝑘个单位长度后，得到的抛物线与𝑥轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为𝑦=𝑥2−5𝑥+6+𝑘，再利用抛物线与𝑥轴的交点问题得到△=52−4(6+𝑘)=0， 然后解关于𝑘的方程即可．
【解答】
(1)证明：𝑦=(𝑥−𝑚)2−(𝑥−𝑚)=𝑥2−(2𝑚+1)𝑥+𝑚2+𝑚.
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由题意可得方程：𝑥2−(2𝑚+1)𝑥+𝑚2+𝑚=0，
∵ 𝛥=(2𝑚+1)2−4(𝑚2+𝑚)=1>0，即方程𝑥2−(2𝑚+1)𝑥+𝑚2+𝑚=0必有两个不相等的实数根， 【解答】
𝑚
∴ 不论𝑚为何值，该抛物线与𝑥轴一定有两个公共点. (2)解：①由(1)知𝑦=𝑥2−(2𝑚+1)𝑥+𝑚2+𝑚， ∵ 函数的对称轴为𝑥=−
−(2𝑚+1)
2
=2.5，
∴ 𝑚=2，
∴ 抛物线解析式为𝑦=𝑥2−5𝑥+6；
②设抛物线沿𝑦轴向上平移𝑘个单位长度后，得到的抛物线与𝑥轴只有一个公共点， 则平移后抛物线解析式为𝑦=𝑥2−5𝑥+6+𝑘.
∵ 抛物线𝑦=𝑥2−5𝑥+6+𝑘与𝑥轴只有一个公共点， ∴ 𝑥2−5𝑥+6+𝑘=0有两个相等的实数根， ∴ 𝛥=52−4(6+𝑘)=0， ∴ 𝑘=1
4，
即把该抛物线沿𝑦轴向上平移1
4个单位长度后，得到的抛物线与𝑥轴只有一个公共点．
【答案】 −3,1
(2)设一次函数解析式𝑦=𝑘𝑥+𝑏，且过点𝐴(−1,3) ，𝐵(−3,1)， 则{3=−𝑘+𝑏,1=−3𝑘+𝑏, 解得：{𝑘=1,
𝑏=4,
∴ 一次函数的解析式为𝑦=𝑥+4. ∵ 一次函数图像与𝑥轴交点为𝐶， ∴ 0=𝑥+4， 解得𝑥=−4， ∴ 𝐶(−4,0)，
∴ 𝑆△𝐴𝑂𝐵=1
1
2×4×3−2×4×1=4. 𝑥≤−3或−1≤𝑥<0 【考点】
反比例函数与一次函数的综合 待定系数法求一次函数解析式 三角形的面积
待定系数法求反比例函数解析式 反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】
(1)将𝐴点坐标，𝐵点坐标代入解析式可求𝑚，𝑛的值；
(2)用待定系数法可求一次函数解析式，根据𝑆△𝐴𝑂𝐵=𝑆△𝐴𝑂𝐶−𝑆△𝐵𝑂𝐶可求△𝐴𝑂𝐵的面积．(3)一次函数图象在反比例函数图象下方，由图象直接可得答案.
第13页 共22页 解：(1)反比例函数𝑦=𝑥过点𝐴(−1,3)，𝐵(−3,𝑛)，
∴ 𝑚=3×(−1)=−3，𝑚=−3𝑛， ∴ 𝑛=1.
故答案为：−3；1.
(2)设一次函数解析式𝑦=𝑘𝑥+𝑏，且过点𝐴(−1,3) ，𝐵(−3,1)， 则{3=−𝑘+𝑏,1=−3𝑘+𝑏, 解得：{𝑘=1,
𝑏=4,
∴ 一次函数的解析式为𝑦=𝑥+4. ∵ 一次函数图像与𝑥轴交点为𝐶， ∴ 0=𝑥+4， 解得𝑥=−4， ∴ 𝐶(−4,0)，
∴ 𝑆△𝐴𝑂𝐵=1
1
2×4×3−2×4×1=4. (3)∵ 𝑘𝑥+𝑏≤𝑚𝑥，
∴ 一次函数图像在反比例函数图像下方， 结合函数图像可得：𝑥≤−3或−1≤𝑥<0. 故答案为：𝑥≤−3或−1≤𝑥<0.
【答案】
解：(1)设抛物线解析式为：𝑦=𝑎𝑥2+𝑐， 由题意可得图象经过(4,0)，(0,4)， 则𝑐=4，16𝑎+𝑐=0， 解得𝑎=−1
4，
故抛物线的表达式为：𝑦=−1
4𝑥2+4. (2)由题意可得当𝑦=3时，3=−1
4𝑥2+4， 解得：𝑥=±2， 故𝐸𝐹=4.
答：水面宽度𝐸𝐹的长为4米． 【考点】
二次函数的应用
待定系数法求二次函数解析式
【解析】
(1)直接设出二次函数解析式，利用待定系数法进而得出答案； (2)根据题意得出𝑦=3进而求出𝑥的值，即可得出答案． 【解答】
第14页 共22页
◎
解：(1)设抛物线解析式为：𝑦=𝑎𝑥2+𝑐， 由题意可得图象经过(4,0)，(0,4)， 则𝑐=4，16𝑎+𝑐=0， 解得𝑎=−1
4，
故抛物线的表达式为：𝑦=−1
4𝑥2+4.
(2)由题意可得当𝑦=3时，3=−1
4𝑥2+4， 解得：𝑥=±2， 故𝐸𝐹=4.
答：水面宽度𝐸𝐹的长为4米． 【答案】
解：(1)抛物线𝑦=𝑥2
−(𝑘+1)𝑥+1的顶点坐标为(𝑘+14−(𝑘+1)22
,
4
)，
由于抛物线的顶点在𝑥轴的负半轴上， 故
4−(𝑘+1)2
4
=0，且
𝑘+12
<0，
解得𝑘=−3.
(2)由(1)可得𝑘=−3，
故抛物线得解析式为𝑦=𝑥2+2𝑥+1， 故𝐴(−1,0)，𝐶(0,1)，
联立𝑦=𝑥2+2𝑥+1和𝑦=−𝑥+1可得𝐵(−3,4). 过𝐵作𝑥轴得垂线，垂足为𝐻，连接𝐴𝐵，𝐴𝐶.
则𝑆△𝐴𝐵𝐶=1
×(4+1)×3−1
×1×1−1
2
2
2
×(3−1)×4=3.
【考点】
二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质 三角形的面积 【解析】
(1)求出抛物线𝑦=𝑥2
−(𝑘+1)𝑥+1的顶点坐标为(𝑘+14−(𝑘+1)2
2
，4
)，令顶点的纵坐标为零，横坐标小于零，
求解即可；
(2)先求出𝐴，𝐵，𝐶的坐标，再利用三角形𝐴𝐵𝐶的面积等于梯形的面积减去两个小三角形的面积即可求解. 【解答】
解：(1)抛物线𝑦=𝑥2−(𝑘+1)𝑥+1的顶点坐标为(
𝑘+1,
4−(𝑘+1)22
4
)，
第15页 共22页 由于抛物线的顶点在𝑥轴的负半轴上， 故
4−(𝑘+1)2
𝑘+14
=0，且
2
<0，
解得𝑘=−3.
(2)由(1)可得𝑘=−3，
故抛物线得解析式为𝑦=𝑥2+2𝑥+1， 故𝐴(−1,0)，𝐶(0,1)，
联立𝑦=𝑥2+2𝑥+1和𝑦=−𝑥+1可得𝐵(−3,4). 过𝐵作𝑥轴得垂线，垂足为𝐻，连接𝐴𝐵，𝐴𝐶.
则𝑆△𝐴𝐵𝐶=1
1
1
2×(4+1)×3−2×1×1−2×(3−1)×4=3. 【答案】
解：(1)将二次函数𝑦=−3
23
5
5𝑥+3𝑥+1化成𝑦=−5(𝑥−2)2+194
，，当𝑥=5
时，𝑦有最大值，𝑦192最大值=
4
，
因此，演员弹跳离地面的最大高度是4.75米．
(2)能成功表演．理由是：
当𝑥=4时，𝑦=−3
25×4+3×4+1=3.4． 即点𝐵(4, 3.4)在抛物线𝑦=−3
5𝑥2+3𝑥+1上，
因此，能表演成功．
【考点】
二次函数的应用
待定系数法求二次函数解析式 【解析】
（1）将二次函数化简为𝑦=−3
5
25(𝑥−2)+
194
，即可解出𝑦最大的值．（2）当𝑥=4时代入二次函数可得点𝐵的坐标在抛物线上．
【解答】
解：(1)将二次函数𝑦=−3
3
5
25𝑥2+3𝑥+1化成𝑦=−5(𝑥−2)+194
，，当𝑥=5
192时，𝑦有最大值，𝑦最大值=
4
，
因此，演员弹跳离地面的最大高度是4.75米．
(2)能成功表演．理由是：
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◎
当𝑥=4时，𝑦=−3
5×42+3×4+1=3.4．
即点𝐵(4, 3.4)在抛物线𝑦=−3
5𝑥2+3𝑥+1上， 因此，能表演成功． 【答案】
解：(1)在𝑅𝑡△𝐴𝑂𝐵中，由勾股定理得，𝐴𝐵=√𝑂𝐴2+𝑂𝐵2=5. ∵ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形，
∴ 𝐵𝐶=𝐴𝐵=5，且𝐵𝐶//𝐴𝐷， ∴ 𝐶点坐标为(−4,−5). 设反比例函数的表达式为𝑦=𝑘
𝑥，
将点𝐶代入得，−5=𝑘
−4， 解得，𝑘=20，
故经过点𝐶的反比例函数的表达式为：𝑦=20𝑥
.
(2)设点𝑃的横坐标为𝑎. ∵ 𝐴𝐷=𝐴𝐵=5，𝐴𝑂=3， ∴ 𝑂𝐷=𝐴𝐷−𝐴𝑂=2，
∴ 𝑆△𝐶𝑂𝐷=1
2×|−4|×𝑂𝐷=4，𝑆△𝑃𝑂𝐴=1
3
2×|𝑎|×𝑂𝐴=2|𝑎|. ∵ 𝑆△𝐶𝑂𝐷=𝑆△𝑃𝑂𝐴， ∴ 3
2|𝑎|=4 ，
解得|𝑎|=88
3 ，即𝑎=±3. 当𝑥=8
8
153
时，𝑦=20÷3
=
2
；
当𝑥=−88
15
3时，𝑦=20÷(−3)=−2 ； 故点𝑃的坐标为(8,15
)或(−8
,−15
3
2
3
2
).
【考点】 三角形的面积 菱形的性质 反比例函数的应用
待定系数法求反比例函数解析式
【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：(1)在𝑅𝑡△𝐴𝑂𝐵中，由勾股定理得，𝐴𝐵=√𝑂𝐴2+𝑂𝐵2=5. ∵ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形，
∴ 𝐵𝐶=𝐴𝐵=5，且𝐵𝐶//𝐴𝐷，
第17页 共22页∴ 𝐶点坐标为(−4,−5). 设反比例函数的表达式为𝑦=𝑘
𝑥， 将点𝐶代入得，−5=𝑘−4
，
解得，𝑘=20，
故经过点𝐶的反比例函数的表达式为：𝑦=20𝑥
.
(2)设点𝑃的横坐标为𝑎. ∵ 𝐴𝐷=𝐴𝐵=5，𝐴𝑂=3， ∴ 𝑂𝐷=𝐴𝐷−𝐴𝑂=2，
∴ 𝑆△𝐶𝑂𝐷=1
2×|−4|×𝑂𝐷=4，𝑆△𝑃𝑂𝐴=1
3
2×|𝑎|×𝑂𝐴=2|𝑎|. ∵ 𝑆△𝐶𝑂𝐷=𝑆△𝑃𝑂𝐴， ∴ 3
2|𝑎|=4 ，
解得|𝑎|=88
3 ，即𝑎=±3. 当𝑥=8
3时，𝑦=20÷8
153=
2
；
当𝑥=−8时，𝑦=20÷(−8
15
33)=−2 ； 故点𝑃的坐标为(8,15
8
15
3
2
)或(−3
,−2
).
【答案】
𝑦=−10𝑥+1000(𝑥≥50) (2)由题意得，𝑆=(𝑥−40)𝑦 =(𝑥−40)(−10𝑥+1000) =−10𝑥2+1400𝑥−40000 =−10(𝑥−70)2+9000. ∵ −10<0，
∴ 函数图像开口向下，对称轴为直线𝑥=70，
∴ 当50≤𝑥≤70时，销售利润随着销售单价的增大而增大. (3)由40(−10𝑥+1000)≤10000，解得𝑥≥75. 又由于最大进货量为：𝑦=10000÷40=250，
由图像可知，当𝑥=75时，𝑆=−10×52+9000=8750（元），此时利润最大．故该商家在10000元内的进货条件下，最大捐款数额为8750元．
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◎
【考点】
二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质 待定系数法求一次函数解析式 二次函数的应用
根据实际问题列二次函数关系式
【解析】
（1）设𝑦＝𝑘𝑥+𝑏，把点的坐标代入解析式，求出𝑘、𝑏的值，即可得出函数解析式；
（2）根据利润＝（售价-进价）×销售量，列出函数关系式，继而确定销售利润随着销售单价的增大而增大(2)如图，连接𝐴𝐶.
的销售单价的范围；
（3）根据购进该商品的贷款不超过10000元，求出进货量，然后求最大销售额即可． 【解答】
解：(1)设𝑦=𝑘𝑥+𝑏， 由题意得，{55𝑘+𝑏=450,
60𝑘+𝑏=400,
解得：{𝑘=−10,
𝑏=1000,
则𝑦与𝑥的函数关系式为：𝑦=−10𝑥+1000(𝑥≥50). 故答案为：𝑦=−10𝑥+1000(𝑥≥50). (2)由题意得，𝑆=(𝑥−40)𝑦 =(𝑥−40)(−10𝑥+1000) =−10𝑥2+1400𝑥−40000 =−10(𝑥−70)2+9000. ∵ −10<0，
∴ 函数图像开口向下，对称轴为直线𝑥=70，
∴ 当50≤𝑥≤70时，销售利润随着销售单价的增大而增大. (3)由40(−10𝑥+1000)≤10000，解得𝑥≥75. 又由于最大进货量为：𝑦=10000÷40=250，
由图像可知，当𝑥=75时，𝑆=−10×52+9000=8750（元），此时利润最大． 故该商家在10000元内的进货条件下，最大捐款数额为8750元． 【答案】
解：(1)因为抛物线经过点𝐴(−4,0)，𝐵(1,0)，
所以设抛物线的函数解析式为：𝑦=𝑎(𝑥+4)(𝑥−1)， 将点𝐶代入，解得𝑎=3
4，
所以抛物线的解析式为𝑦=3
4(𝑥+4)(𝑥−1)．
第19页 共22页 在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝑂中，𝐴𝑂=4，𝑂𝐶=3， 由勾股定理可知𝐴𝐶=5， 所以𝐴𝐶=𝐴𝐵.
要想使𝐴，𝐵，𝐶，𝐷四点为顶点构成的四边形为菱形，则𝐷点在第四象限. 使𝐶𝐷平行于𝐴𝐵，𝐶𝐷=𝐴𝐵， 可得到平行四边形𝐴𝐶𝐷𝐵.
又因为𝐴𝐶=𝐴𝐵，则平行四边形𝐴𝐶𝐷𝐵为菱形， 此时𝐷点坐标为(5,−3).
用同样方法作图，当𝑃在其他象限时只能作出平行四边形．
所以要想使𝐴，𝐵，𝐶，𝐷四点为顶点构成的四边形为菱形，𝐷点坐标为(5,−3)．(3)如图，
当点𝑃，𝐷，𝐵三点不共线时，由三角形边角关系可知|𝑃𝐷−𝑃𝐵|<𝐵𝐷. 当三点在同一直线上时，|𝑃𝐷−𝑃𝐵|=𝐵𝐷，
所以当点𝑃，点𝐷，点𝐵三点共线，|𝑃𝐷−𝑃𝐵|值最大. 设直线𝐵𝐷的解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏， 因为点𝐵(1,0)，点𝐷(5,−3)， 则有{𝑘+𝑏=0,
5𝑘+𝑏=−3,
解得𝑘=−33
4，𝑏=4，
所以直线𝐵𝐷的解析式为𝑦=−3
3
4
𝑥+4
.
当|𝑃𝐷−𝑃𝐵|值最大时，点𝑃为直线𝐵𝐷与抛物线的交点， 则{𝑦=−33
4𝑥+4,
𝑦=3
𝑥+4)(𝑥−1), 4(解得𝑃(1,0)或(−5,9
2)，
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◎
所以当𝑃(1,0)或(−5,9
2)时，|𝑃𝐷−𝑃𝐵|值最大，最大值为5． 【考点】
二次函数综合题
待定系数法求二次函数解析式 【解析】
【解答】
解：(1)因为抛物线经过点𝐴(−4,0)，𝐵(1,0)，
所以设抛物线的函数解析式为：𝑦=𝑎(𝑥+4)(𝑥−1)， 将点𝐶代入，解得𝑎=34，
所以抛物线的解析式为𝑦=3
4
(𝑥+4)(𝑥−1)．
(2)如图，连接𝐴𝐶.
在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝑂中，𝐴𝑂=4，𝑂𝐶=3， 由勾股定理可知𝐴𝐶=5， 所以𝐴𝐶=𝐴𝐵.
要想使𝐴，𝐵，𝐶，𝐷四点为顶点构成的四边形为菱形，则𝐷点在第四象限. 使𝐶𝐷平行于𝐴𝐵，𝐶𝐷=𝐴𝐵， 可得到平行四边形𝐴𝐶𝐷𝐵.
又因为𝐴𝐶=𝐴𝐵，则平行四边形𝐴𝐶𝐷𝐵为菱形， 此时𝐷点坐标为(5,−3).
用同样方法作图，当𝑃在其他象限时只能作出平行四边形．
所以要想使𝐴，𝐵，𝐶，𝐷四点为顶点构成的四边形为菱形，𝐷点坐标为(5,−3)．(3)如图，
第21页 共22页当点𝑃，𝐷，𝐵三点不共线时，由三角形边角关系可知|𝑃𝐷−𝑃𝐵|<𝐵𝐷. 当三点在同一直线上时，|𝑃𝐷−𝑃𝐵|=𝐵𝐷，
所以当点𝑃，点𝐷，点𝐵三点共线，|𝑃𝐷−𝑃𝐵|值最大. 设直线𝐵𝐷的解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏， 因为点𝐵(1,0)，点𝐷(5,−3)， 则有{𝑘+𝑏=0,
5𝑘+𝑏=−3,
解得𝑘=−3
3
4，𝑏=4，
所以直线𝐵𝐷的解析式为𝑦=−3
3
4𝑥+4.
当|𝑃𝐷−𝑃𝐵|值最大时，点𝑃为直线𝐵𝐷与抛物线的交点， 则{𝑦=−3
3
4𝑥+4,
𝑦=3
4
(𝑥+4)(𝑥−1),
解得𝑃(1,0)或(−5,9
2
)，
所以当𝑃(1,0)或(−5,9
2)时，|𝑃𝐷−𝑃𝐵|值最大，最大值为5．
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