平行四边形 教案

◆课前热身

1.如图，在□ABCD中，已知AD＝8㎝， AB＝6㎝， DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（ ）

A

D

B

A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm

2.如图，□ABCD中，AC．BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为（ ）． A．3 B．6 C．12 D．24

A D E

C

B C 第2题图

3.下列命题中错误的是（ ）

A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．一组对边平行的四边形是梯形 4.如图，□ABCD中，E、F分别为BC、AD边上的点，要使BFDE，需添加一个条件： ．

F A

D

B

E

C

【参考答案】 1. A 2. C 3. D

4. BEDF或BF∥DE；AFCE;BFDBED；AFBADE等

◆考点聚焦

1．掌握平行四边形的概念和面积的求法．

2．探索并掌握四边形是平行四边形的条件及平行四边形的边、角、•对角线的性质． 3．理解平行四边形是中心对称图形，•过对称中心的直线把它分成面积相等的两部分． 4．会在平行四边形中运用全等三角形和相似三角形的知识解题． ◆备考兵法

1．本节内容在考试中，传统的几何证明题所占的比例很小，•大多数试题以探索题和开放题的形式出现，其中拼接、折叠、旋转、平移等几何变换在试题中频繁出现，也有很多涉及面积的试题，要引起重视． 2．在以平行四边形为载体为证明线段（或角）相等的问题中，•通常证明这些线段（或角）所在的四边形是平行四边形，再由平行四边形的性质来证明，而不要仅仅停留在证三角形全等上．在复习时，应熟练掌握平行四边形的性质及判别方法，注意图形变换的一些特征，善于从折叠、旋转等几何变换中寻求已知条件． ◆考点链接

1．平行四边形的性质

（1）平行四边形对边______，对角______；角平分线______；邻角______.

- 1 -

（2）平行四边形两个邻角的平分线互相______，两个对角的平分线互相______．（填“平行”或“垂直”） （3）平行四边形的面积公式____________________. 2．平行四边形的判定

（1）定义法：________________________.

（2）边：________________________或_______________________． （3）角：________________________． （4）对角线：________________________． ◆典例精析

例1（湖北襄樊）如图，在ABCD中，AEBC于E，且a是一元二次方程AEEBECa，x22x30的根，则ABCD的周长为（ ）

A．422 B．1262 C．222 D．22或1262

A D

B

E

【答案】A

C

2【解析】本题考查平行四边形及一元二次方程的有关知识，∵a是一元二次方程x2x30的根，∴a1，∴AE＝EB＝EC＝1，∴AB＝2，BC＝2，∴ABCD的周长为422，故选A．

例2 （四川达州）如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN，EF•分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1，S2，S3，S4，若MN∥AB󰀂∥DC，EF∥DA∥CB，则有（ ）

A．S1=S4 B．S1+S4=S2+S3 C．S1S4=S2S3 D．都不对 【答案】 C

【解析】 由于平行线间的距离处处相等，则红、黄、紫、白的面积比便等于高的比，此时红、紫的高相等，黄、白的高相等．

拓展变式 若例1中，MN与EF的交点在AC上，则S1，S2，S3，S4，还有何更进一步的关系？_________ 答案 S1=S3 S2=S4

例3如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE=AF．请你猜想：BE•与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明．

解析 猜想：BE∥DF，BE=DF．

证法一：如图1，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD，∠1=∠2． 又∵CE=AF，

∴△BCE≌△DAF． ∴BE=DF，∠3=∠4， ∴BE∥DF．

证法二：如图2，连结BD，交AC于点O，连结DE，BF． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO=OD，AO=CO． 又∵AF=CE， ∴AE=CF， ∴EO=FO，

∴四边形BEDF是平行四边形，

- 2 -

∴BE//DF．

点评 从近几年的中考试题来看，平行四边形这一节不会出现很复杂的证明题，试题主要考查平行四边形的特征和识别，也有很多地方涉及全等和相似的知识，传统的计算和证明所占的比例较小，大多数以探索和开放题的形式出现． ◆迎考精练 一、选择题 1.（山东威海）如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连结DE并延长，交AB的延长线于F点，添ABBF．加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．你认为下面四个条件中可选择的是（ ）

A．ADBC B．CDBF C．AC D．FCDE

D C

E

A

F

B

2.（甘肃白银）如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝（ ）

A．2

B．3

C．22 D．23

3.（山东日照）如图，在□ABCD中，已知AD＝8㎝， AB＝6㎝， DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（ ）

A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm

A

D

B

E C

二、填空题

1.（广西钦州）如图，在□ABCD中，∠A＝120°，则∠D＝_ _°.

A B

2．(辽宁本溪)如图所示，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点M、N，若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则△AOB的面积为 ．

DCO

3.（黑龙江哈尔滨）如图，在□ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD．BD的中点，连接EF．若EF＝3，则CD的长为 ．

- 3 -

4.（山西省）如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，△ABD的周长为16cm，则△DOE的周长是 cm．

A D O E

B C 5.（湖南郴州）如图，在四边形ABCD中，已知ABCD，再添加一个条件___________（写出一个即可），则四边形ABCD是平行四边形．(图形中不再添加辅助线)

D C A

5题

B

三、解答题

1. (湖北黄冈)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB中点，连结CE，过点E作ED⊥BC于点D，在DE的延长线上取一点F，使AF＝CE．求证：四边形ACEF是平行四边形．

2.（湖南长沙）如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，BE∥DF，求证：AFCE．

A D

E B

F C

3.（贵州黔东南州）如图，l1、l2、l3、l4是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为h，正方形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，且正方形ABCD的面积是25.

（1）连结EF，证明△ABE、△FBE、△EDF、△CDF的面积相等. （2）求h的值.

- 4 -

4.（新疆）如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AFCE，DFBE，DF∥BE． 求证：（1）△AFD≌△CEB． （2）四边形ABCD是平行四边形．

D C

E A

F

B

5.（广东广州）如图，在ΔABC中，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点.

证明：四边形DECF是平行四边形.

6.(浙江温州)在所给的9×9方格中，每个小正方形的边长都是1．按要求画平行四边形，使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上．

(1)在图甲中画一个平行四边形，使它的周长是整数；

(2)在图乙中画一个平行四边形，使它的周长不是整数．(注：图甲、图乙在答题纸上)

7.(福建宁德)如图：点A．D．B．E在同一直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF，请从图中找出一个与∠E相等的角，并加以证明．（不再添加其他的字母与线段）

C F A

D B

E

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【参考答案】 选择题 1. D 2. C 3. B 填空题 1. 60 2. 6

3. 6 因为EF是△ABD的中位线，则AB＝6，又AB＝CD，所以CD＝6. 4. 8

AB∥CD或AD5.或ABC

D180°C180°等 或B解答题

1. 证明：∵点E为Rt△ABC的斜边中点，

∴EC＝EA＝EB ∴∠EAC＝∠ECA． ∵AF＝CE，CE＝EA ∴AF＝AE，

∴∠AFE＝∠AEF． ∵∠ACB＝∠EDB＝90° ∴FD∥BC

∴∠AEF＝∠EAC

∴∠EAC＝∠ECA＝∠AFE＝∠AEF．

∴∠EAF＝180°－∠AFE－∠AEF＝180°－∠EAC－∠ECA＝∠AEC ∴AF∥CE 又∵AF＝CE ∴四边形ACEF是平行四边形.

2. 证明：平行四边形ABCD中，AD∥BC，ADBC， ACBCAD． 又BE∥DF，

BECDFA， △BEC≌△DFA， CEAF 3. 解：连结EF

∵l1∥l2∥l3∥l4，且四边形ABCD是正方形 ∴BE∥FD，BF∥ED

∴四边形EBFD为平行四边形 ∴BE＝FD

又∵l1、l2、l3和l4之间的距离为h

∴S△ABE＝

1111BE·h，S△FBE＝BE·h，S△EDF＝FD·h，S△CDF＝FD·h 2222∴S△ABE＝ S△FBE＝ S△EDF＝ S△CDF

（2）

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过A点作AH⊥BE于H点。

方法一：∵S△ABE＝ S△FBE＝ S△EDF＝ S△CDF 又∵ 正方形ABCD的面积是25 ∴SABE

25，且AB＝AD＝5 4又∵l1∥l2∥l3∥l4

∴E、F分别是AD与BC的中点 ∴AE＝

15AD＝ 22AB2AE255 2∴在Rt△ABE中， BE＝

又∵AB·AE＝BE·AH

5AB•AE25 ∴AH5BE525方法二：不妨设BE＝FD＝x (x>0)

则S△ABE＝ S△FBE＝ S△EDF＝ S△CDF＝

xh 2又∵正方形ABCD的面积是25，

125，且AB＝5 xh2425则xh ①

2∴S△ABE＝

又∵在Rt△ABE中：AE＝BE2AB2o

又∵∠BAE＝90，AH⊥BE ∴Rt△ABE∽Rt△HAE

x252

hx252AHAE∴，即 5xABBE222变形得：(hx)25(x5)②

25225(x252)③ 把①两边平方后代入②得：45555解方程③得x （x舍去）

2255把x代入①得：h5

24. 证明：（1）DF∥BE，DFEBEF． AFDDFE180°，CEBBEF180°，

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AFDCEB．

又AFCE，DFBE， △AFD≌△CEB(SAS)．

（2）由（1）知△AFD≌△CEB，DACBCA，ADBC， AD∥BC．

四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

5.证明： ∵D、E、F分别为AB．BC．CA的中点， ∴DF∥BC，DE∥AC，

∴四边形DECF是平行四边形.

6. 解：（1）

（2）

7. 解法1：图中∠CBA＝∠E 证明：∵AD＝BE ∴AD＋DB＝BE＋DB即AB＝DE ∵AC∥DF ∴∠A＝∠FDE 又∵AC＝DF ∴△ABC≌△DEF ∴∠CBA＝∠E C F A D B E 解法2：图中∠FCB＝∠E 证明：∵AC＝DF，AC∥DF ∴四边形ADFC是平行四边形 ∴CF∥AD，CF＝AD

∵AD＝BE ∴CF＝BE，CF∥BE - 8 -

∴四边形BEFC是平行四边形 ∴∠FCB＝∠E

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