概率论与数理统计论文

摘要：离散型随机变量数学期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是概率论和数理统

计来反映随机变量取值分布的特征数，通过探讨数学期望在生活中的一些实际问题应用，了解数学期望在生活中的实践运用，知道概率论与数理统计已成为处理信息、制定决策的重要理论和方法。

关键词：概率论与数理统计 离散型随机变量 数学期望

概率论是研究随机现象统计规律的科学，是近代数学的重要组成部分，广泛应用于自然科学、社会科学及人文科学等各个领域中，并且随着计算机的普及，概率论与数理统计已成为处理信息、制定决策的重要理论和方法，越来越引起广泛的重视。本文主要讨论离散型随机变量数学期望在日常生活中的应用，我即将用下面几个具体事例去解释说明。

一、离散型随机变量数学期望的定义

设离散型随机变量X的分布列P（X=Xi）=Pi (i=1,2,...)，若数级

∞∞XiPi绝对收敛， ∞即

XiPi < +∞ ，则称XiPi为Ｘ的数学期望或均值，记为E（X），即 E（X）＝

XiPi∞ 。

若

XiPi发散时，则称Ｘ的数学期望不存在。 ∞二、离散型随机变量数学期望的作用

期望表示随机变量在随机试验中取值的平均值，它事概率意义下的平均值，不同与相应数值的算术平均数，是简单算术平均数的一种推广，类似加权平均。它不仅在科学技术、工农业生产和经济管理中发挥着重要作用，而且常常出现在我们生活中，并对我们的生活产生影响。在解决实际问题时，作为一个重要参数，对市场预测、经济统计、风险与决策、体育比赛等领域有着重要的指导作用。作为数学基础理论中统计学上的数字特征，广泛应用于工程技术、经济社会领域；概率论与数理统计已成为处理信息、制定决策的重要理论和方法。

三、离散型随机变量的数学期望的求法 离散型随机变量数学期望的求法常常分四个步骤：

1、确定离散型随机变量可能取值；

2、计算离散型随机变量每一个可能值相应的概率； 3、写出分布列，并检查分布列的正确与否； 4、求出期望.

四、数学期望运用

(一)数学期望在企业利润评估方面的运用

工厂生产过程的产品有等级之分，因为我们不能确保每件产品都是一等品，而且只产一等品，成本会增加，获利就会减少；为了工厂获利最大化，我们可以用数学期望对利润进行评估。

例 某工厂生产一批产品，其中一等品占1/2,每件一等品获利3元；二等品占1/3,每 件一等品获利1元；次品占1/3,每件次品亏损2元.求每件商品获利X的数学期望. 解：随机变量所有的取值可能为-2,1及3，有题设知取这些值的概率依次为

X P -2 1/6 １ 1/3 3 1/2 1/6,1/3,1/2，因此X的概率分布为

所以利润的数学期望为

Ｅ（Ｘ）＝（-2）×（1/6）＋１×（1/3）＋３×（1/2）＝1.5 这批产品平均每件获利1.5元.

通过期望的计算可调整工厂生产产品的等级，从而达到最优化，获得最大利益。

（二）数学期望在公司方案决策上的运用

在一个信息爆炸的时代，公司的决策的准确与否往往决定着公司的命运如何，但是在这么一个竞争剧烈的社会，公司的决策方案还得出台迅速。因此，为了达到这个目的，我们公司人员往往会利用数学期望对决策方案进行一定的预算，从而降低了风险和减少决策方案出台周期.

例 某公司为了适应市场需求，欲扩大生产，计划部门拟定两种方案： （１）扩大现有工厂；

（２）将部分产量转包给其他工厂生产．

公司获得的利润值受市场需求的影响，设在市场需求为高、中、低状态时，方案

一获得的利润值分别为500万、250万、-200万；方案二获得的利润分别为 300万、150万、-10万．经市场预测分析，需求量为高中低的概率分别为 0.2、0.5、0.3 .试问选择哪一种方案可使公司的期望利润最大？

解：由题意知方案（１）的利润是随机变量Ｘ１，其分布律为

Ｘ１ Ｐ 500 0.2 250 0.5 -200 0.3 Ｅ（Ｘ１）＝500×0.2＋250×0.5－200×0.3＝165（万元） 方案（２）的利润是随机变量Ｘ２，分布率为

Ｘ２ Ｐ 300 0.2 150 0.5 -10 0.3 Ｅ（Ｘ２）＝300×0.2＋150×0.5－10×0.3＝132（万元）

因为Ｅ（Ｘ１）＞Ｅ（Ｘ２），所以应采用（１）方案，扩大现有工厂。

（三）数学期望体育比赛中的运用

为了取得好成绩，我们常对选手进行选拔，通过对他们的平时表现，按照一定的统计方法得出规律，进行比较分析，从而判断和选择参赛人员或估计他们获奖的可能性。下面就是一个数学期望的应用：

例1 甲、乙两名射手在同样条件下进行射击，他们的各自的命中环数X，Y的概率分布 如下，试问哪一个射手本领较好？

X P 8 0.3 9 0.1 10 0.6 X P 8 0.2 9 0.5 10 0.3

解：甲、乙命中环数的均值分别为

E（X）=8×0.3＋9×0.1＋10×0.6=9.3 E（Y）=8×0.2＋9×0.5＋10×0.3=9.1

所以甲射手的本领较乙射手的好一些，若是选拨，应选甲参赛；若是比赛，甲能 赢的可能性比较大。

（四）数学期望在提高工作效率上的运用

工作中，我们常常会遇到许多重复性的操作步骤，重复越多，我们也就会越易产生疲劳，从而更易降低工作效率，这让效率本来就低的工作难以进行，可能会导致成本增加。为了尽量减少或避免这种情况发生，我们可以通过数学期望进行估算，然后选择最佳方案. 例 某单位N（比较大的数）个人，为普查某种疾病都去验血，验血有两种方法：

Ⅰ每个人分别验，需要验N次；

Ⅱ按每K个人一组进行分组，将每个人所抽的血取出一半混合在一起化验，如果是

阴性，则说明这K个人的血都是阴性，这样对K个人来说，只用化验一次；如果 是阳性，则说明这K个人中至少有一个人呈阳性，这需要对着K个人的血再进行 逐个化验，这是对这K个人来说，总共要化验K+1次.

假定对所有人来说验血的结果呈阳性的概率为p ，且这些人的化验结果是相互独立的（即一般来说，这种病不是传染病或遗传病）. 试问，按哪一种方案化验效率最高，为什么.

解：

①因个人验血呈阳性的概率为p,，故呈阴性的概率为q=1-p，而这些人的化验结果是相

kk

互独立的，故K个人混合血液为阴性的概率为q，呈阳性的概率为1-q. ②设K个人为一组时，所需化验的次数为X1，则X1时随机变量，其分布律为

X1 PX 11 q kK+1 1-q k每K人一组的化验次数期望为 kkk

E（X1）=1×q+（K+1）×（1-q）=K-Kq+1 将N个人分成N/K组，每组K人，各组所需化验次数是与X1有相同分布列的随机变量，故

k

E（X）=（N/K)E（X1）=N(1-q+1/K)

k

③求K，使E（X）最小，由于p是给定的常数，选择K使E（X）==N(1-q+1/K)最小.

2k

这样可对其求导并令其为零得Kqlnq+1=0近似解出.

对应于p=0.01，0.02，0.03，0.04，0.05，0.1，0.2，经计算得出使E（X）最小的K分别为K=11,8,6,6,5,4,3

设p=0.05，则q=0.95，此时K=5时，最好的分组方法是在方法Ⅱ下只用化验

5

1000（1-0.95+1/5）=426（次） 可以减少57%的工作量.

（五）数学期望在保险问题的应用

我们都有买过保险，但是你是否知道你买的每种保险，保险公司是怎么赢利的呢？当你看着有人出意外获赔时，是不是觉得保险公司赔惨了？其实，你不必为他们担心，在每种保险推出前，保险公司就已做过估算以致确保能获利；即使是真赔了，那么这种可能性几乎为零。

例 一个家庭在一年中五万元或五万元以上的贵重物品被盗的概率是0.005.保险公司开 办一年期五万元或五万元以上家庭财产保险，参加者需缴保险费200元，若在一年内，五万元或五万元以上的贵重物品被盗，保险公司赔偿a元（a>200).试问a如何确定才能使保险公司期望获利？ 解：设X表示保险公司对任一参保家庭的收益，则X的取值为200或200-a.

其分布列为 X P 200 0.995 200-a 0.005 则数学期望E（X）=200×0.995+（200-a）×0.005>0；

解得a<40000,又因为a>200，所以a∈（200,40000）保险公司才能期望获得利润。

五、结语

概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的一门数学学科，在包括控制、通信、生物、物理、力学、金融、社会科学以及其他工程技术等诸多领域中获得广泛运用。人们既可以通过试验来观察随机现象，揭示其规律，作出决策，也可以根据实际问题的具体情况找出随机现象的规律，作出决策。学习和掌握概率论与数理统计的基本理论和基本方法并将其应用于社会科学研究和工程实际中，是社会发展对高素质人才培养提出的必然要求。面对当今信息时代的要求，我们应当思维活跃，敢于创新，既要学习数学理论知识，更应该重视对所学知识的实践应用，做到理论联系实际，学以致用。

参考文献：

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[6]朱晓梅；概率论和数理统计典型问题探究；科教文汇2013年21卷； [7]王勇；概率论与数理统计；高等教育出版社。