费马点最值问题

费马点最值问题

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费马点

破解策略

费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离．

若三角形的内角均小于120°，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角；若三角形内有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点．

1.若三角形有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点即为该三角形的费马点

如图在△ABC中，∠BAC≥120°，求证：点A为△ABC的费马点 证明：

如图，在△ABC内有一点P延长BA至C，使得AC＝AC，作∠CAP＝ ∠CAP，并且使得AP＝AP，连结PP

则△APC≌△APC，PC＝PC

因为∠BAC≥120°

所以∠PAP＝∠CAC≤60

所以在等腰△PAP中，AP≥PP

所以PA＋PB＋PC≥PP＋PB＋PC＞BC＝AB＋AC

所以点A为△ABC的费马点

2.若三角形的内角均小于120°，则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点．

如图，在△ABC中三个内角均小于120°，分别以AB、AC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点为O，求证：点O为△ABC的费马点

证明：在△ABC内部任意取一点O，；连接OA、OB、OC

将△AOC绕着点A逆时针旋转60°，得到△AO′D连接OO′则O′D＝OC 所以△AOO′为等边三角形，OO′＝AO 所以OA＋OC＋OB＝OO′＋OB＋O′D

则当点B、O、O′、D四点共线时，OA＋OB＋OC最小

此时ABAC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点即为点O

如图，在△ABC中，若∠BAC、∠ABC、∠ACB均小于120°，O为费马点，则有∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°，所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心

例1 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（－6，0），点B的坐标为（6，0），点C的坐标为（6，43），延长AC至点D使得CD＝AC，过点DE作

DE//AB，交BC的延长线于点E，设G为y轴上的一点，点P从直线y＝3x＋63与y轴的交点M出发，先沿y轴到达点G，再沿GA到达点A，若点P在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定点G的位置，使点P按照上述要求到达A所用的时间最短

解：∵t＝GMGA2GAGM

2vv2v∴当2GA＋GM最小时，时间最短

如图，假设在OM上存在一点G，则BG＝AG ∴MG＋2AG＝MG＋AG＋BG

把△MGB绕点B顺时针旋转60°，得到△M′G′B，连结GG′，MM′ ∴△GG′B、△MM′B都为等边三角形 则GG′＝G′B＝GB 又∵M′G′＝MG

∴MG＋AG＋BG＝M′G′＋GG′＋AG ∵点A、M′为定点

∴AM′与OM的交点为G，此时MG＋AG＋BG最小

∴点G的坐标为（0，23）

例2 A、B、C、D四个城市恰好为一个正方形的四个顶点，要建立一个公路系统使得每两个城市之间都有公路相通，并是整个公路系统的总长度为最小，则应当如何修建？

解：如图，将△ABP绕点N逆时针旋转60°，得到△EBM；同样，将△DCQ绕点C顺时针旋转60°，得到△FCN，连结AE、DF，则△ABE、△DCF均为等边三角形，连结PM、QN，则△BPM，△CQN均为等边三角形

所以当点E，M，P，Q，N，F共线时，整个公路系统的总长取到最小值，为线段EF的长，如图，此时点P，Q在EF上，?1＝?2＝?3＝?4＝30?． 进阶训练

1．如图，在?ABC中，?ABC＝60?，AB＝5，BC＝3，P是?ABC内一点，求PA＋

PB＋PC的最小值，并确定当PA＋PB＋PC取得最小值时，?APC的度数．

APBC

答案：PA＋PB＋PC的最小值为7，此时?APC＝120?．

【提示】如图，将?APB绕点B逆时针旋转60?，得到?A'BP'，连结PP'，

A'C．过点A'作A'E?BC，交CB的延长线于点E．解Rt?A'EC求A'C的长，所得即

为PA＋PB＋PC的最小值．

2． 如图，四边形ABCD是正方形，?ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60?得到BN，连结AM，CM，EN．

（1）当M在何处时，AM＋CM的值最小?

（2）当M在何处时，AM＋BM＋CM的值最小？请说明理由； （3）当AM＋BM＋CM的最小值为31时，求正方形的边长．

答案：（1）当点M落在BD的中点时，AM＋CM的值最小，最小值为AC的长； （2）连结CE，当点M位于BD与CE的交点处时．AM＋BM＋CM的值最小，最小值为CE的长．

（3）正方形的边长为2．

【提示】（3）过点E作EF?BC，交CB的延长线于点F，解Rt?EFC即可．