1
如图，对称轴为直线x＝的抛物线经过B(2，0)，C(0，4)两点，抛物线与x轴的另
2一交点为A.
(1)求抛物线的解析式；
12
【思路点拨】 已知对称轴，可设顶点式y＝a(x－)＋k，然后将点B，C的坐标代入，
2解方程组即可得到抛物线的解析式．(一题多解)
【答题示范】 解法一：∵抛物线的对称轴为直线x＝1
2，
∴设抛物线的解析式为y＝a(x－12)2
＋k(a≠0)．
∵抛物线经过点B(2，0)，C(0，4)，
9
a＋k＝0，a＝－2，4∴
1解得
k＝9
4
a＋k＝4，2.∴抛物线的解析式为y＝－2(x－1292)＋2，
即y＝－2x2
＋2x＋4.
解法二：∵抛物线的对称轴为直线x＝12，A，B两点关于直线x＝1
2对称且B(2，0)，∴A(－1，0)．
∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－2)(a≠0)． ∵抛物线经过点C(0，4)， ∴－2a＝4，解得a＝－2.
∴抛物线的解析式为y＝－2(x＋1)(x－2)，
即y＝－2x2
＋2x＋4.
解法三：设抛物线的解析式为y＝ax2
＋bx＋c(a≠0)． ∵抛物线的对称轴为直线x＝1
2
且经过点B(2，0)，C(0，4)，
1
b1
a＝－2，－＝，2a2
∴解得b＝2，
4a＋2b＋c＝0，
c＝4.c＝4，
∴抛物线的解析式为y＝－2x＋2x＋4. 方法指导二次函数的解析式的确定：
1．确定二次函数的解析式一般用待定系数法，由于二次函数解析式有三个待定系数a，b，
c(a，h，k或a，x1，x2)，因而确定二次函数的解析式需要已知三个独立的条件：
2
(1)已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般式，即y＝ax＋bx＋c(a≠0)；
2
(2)已知抛物线的顶点坐标和另外一点的坐标时，选用顶点式，即y＝a(x－h)＋k(a≠0)； (3)已知抛物线与x轴的两个交点(或横坐标x1，x2)时，选用交点式，即y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
2．用待定系数法求二次函数解析式的步骤： (1)设二次函数的解析式；
(2)根据已知条件，得到关于待定系数的方程(组)；
(3)解方程(组)，求出待定系数的值，从而写出函数的解析式．
(2)若点P为第一象限内抛物线上一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；
【思路点拨】 先设点P的坐标，再利用割补法将四边形COBP的面积表示成几个容易计算的图形面积的和差，然后根据二次函数的性质求最值．(一题多解)
【答题示范】 解法一：如图1，连接BC，过点P作PF⊥x轴于点F，交BC于点E.
2
图1
设直线BC的解析式为y＝dx＋t(d≠0)． ∵直线经过点B(2，0)，C(0，4)，
2d＋t＝0，d＝－2，∴解得 t＝4，t＝4.
∴直线BC的解析式为y＝－2x＋4. ∵P为第一象限内抛物线上一点，
2
设P点坐标为(n，－2n＋2n＋4)(0 则E点坐标为(n，－2n＋4)． 222 ∴PE＝PF－EF＝|－2n＋2n＋4|－|－2n＋4|＝－2n＋2n＋4＋2n－4＝－2n＋4n. 11112 ∵S△BPC＝S△BPE＋S△CPE＝PE·BF＋PE·OF＝PE·(BF＋OF)＝PE·OB＝－2n＋4n. 2222∴S＝S△BPC＋S△OCB＝－2n＋4n＋4＝－2(n－1)＋6. ∴当n＝1时，S最大＝6. 解法二：①当点P位于点C下方时，如图2， 过点P作PE⊥y轴于E. 2 2 图2 ∵P为第一象限内抛物线上一点， 2 设P点坐标为(n，－2n＋2n＋4)， 2 则E点坐标为(0，－2n＋2n＋4)， 22 ∴PE＝n，CE＝4＋2n－2n－4＝2n－2n. 1232 ∵S△PEC＝n(2n－2n)＝n－n， 2 1232 S四边形OBPE＝(n＋2)(－2n＋2n＋4)＝－n－n＋4n＋4， 2 ∴S＝S△PEC＋S四边形OBPE＝n－n－n－n＋4n＋4＝－2n＋4n＋4＝－2(n－1)＋6. ∴当n＝1时，S最大＝6； 2 ②当点P位于点C上方时，过P′作P′H⊥OB于H.同①可设P′(m，－2m＋2m＋4)，则H(m，0)． 2 ∴P′H＝－2m＋2m＋4，BH＝2－m. ∴S＝S四边形OCP′H＋S△P′HB 1122 ＝(4－2m＋2m＋4)·m＋(2－m)·(－2m＋2m＋4) 22＝－2m＋4m＋4 2 ＝－2(m－1)＋6. ∴当m＝1时，S最大 ＝6. 综上可知，S的最大值为6. 方法指导 1．探究面积最值的存在性： 第(2)问是与抛物线有关的三角形或四边形，抛物线三角形就是三角形的三个顶点都在抛 2 3 2 3 2 2 2 3 物线上，同样，抛物线四边形就是四边形的四个顶点都在抛物线上，要求三角形或四边形的面积的最大值或最小值．Ｋ 解决这类问题的基本步骤： (1)首先要确定所求三角形或四边形面积最值，可设动点运动的时间t或动点的坐标(t，2 at＋bt＋c)； (2)①求三角形面积最值时要用含t的代数式表示出三角形的底和高，此时就应先证明涉及底和高的三角形与已知线段长度的三角形相似，从而求得用含t的代数式表示的底和高； ②求四边形的面积最值时，常用到的方法是利用割补法将四边形分成两个三角形，从而利用三角形的方法求得用含t的代数式表示的线段； (3)用含有未知数的代数式表示出图形的面积； (4)用二次函数的知识来求最大值或最小值．(如P206T1(3)、P206T2(2)、P208T3(2) 2．探究面积等量关系的存在性问题： 对于图形的运动产生的相等关系问题， 解答时应认真审题，仔细研究图形，分析动点的运动状态及运动过程，解题过程的一般步骤： (1)弄清其取值范围，画出符合条件的图形； (2)确定其存在的情况有几种，然后分别求解，在求解计算中一般由函数关系式设出图形的动点坐标并结合作辅助线，画出所求面积为定值的三角形； (3)过动点作有关三角形的高或平行于x轴、y轴的辅助线，利用面积公式或三角形相似求出有关线段长度或面积的代数式，列方程求解，再根据实际问题确定方程的解是否符合题意，从而证得面积等量关系的存在性．(如P206T2(3)) 3．探究线段最值问题： 无论是线段和的最小值或是周长的最小值，还有两条线段差的最大值等，解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”，最常见的基本图形就是“将军饮马问题”，即已知一条直线和直线同旁的两个点，要在直线上找一点，使得这两个点与这点连接的线段之和最小，解决问题的方法就是通过轴对称作出对称点来解决．(如P203T1(3)，P203T2(3)，P208T1(2)，P209T2(2)), (3)若M是线段BC上一动点，在x轴上是否存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 在探究同时存在两个结论时，通常先假设一个结论成立，然后探究另一个结论是否也成立，方法一般也不唯一，详见解答中的一题多解． 【答题示范】 存在点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形． 理由如下： 分以下两种情况： 4 图3 (ⅰ)解法一：如图3所示：当∠BQM＝90°时， ∵∠CMQ>90°，∴只能CM＝MQ. 由(2)的解法一得：直线BC的解析式为y＝－2x＋4. 设M点坐标为(m，－2m＋4)(0 4 ∵CM＝MQ，∴－2m＋4＝5m，m＝＝45－8. 5＋2 ∴Q(45－8，0)． 解法二：由(2)的解法一得：直线BC的解析式为y＝－2x＋4. 设M(m，－2m＋4)(0 在Rt△OBC中，BC＝OB＋OC＝25. 2222 在Rt△MBQ中，BM＝MQ＋BQ＝（－2m＋4）＋（2－m）＝5|m－2|＝5(2－m)＝25－5m. ∴CM＝BC－BM＝25－(25－5m)＝5m. ∵CM＝MQ， 4 ∴－2m＋4＝5m，m＝＝45－8. 5＋2 ∴Q(45－8，0)． 解法三：如图4所示：当∠BQM＝90°时， 222 2 2 2 5 图4 ∵∠CMQ>90°， ∴只能CM＝MQ. 由(2)的解法一得：直线BC的解析式为y＝－2x＋4. 设M点坐标为(m，－2m＋4)(0 ＝5m. ∴CM＝MQ＝5m. ∵tan∠CBO＝OCOB＝2， ∴tan∠MBQ＝MQ5mBQ＝2，即2－m＝2. ∴m＝45－8. ∴Q(45－8，0)． (ⅱ)解法一：如图5所示：当∠QMB＝90°时， 图5 ∵∠CMQ＝90°， ∴只能CM＝MQ. 过点M作MN⊥x轴于点N，设M(m，－2m＋4)(0 ∴BOBM＝OCMQ，即2425－5m＝MQ. ∴MQ＝2(25－5m)＝45－25m. ∵CM＝MQ，CM＝5m， ∴5m＝45－25m. ∴m＝4443.∴M(3，3 )． ∵MN⊥x轴于点N，MQ⊥BC， ∠QMN＋∠NMB＝90°，∠NMB＋∠NBM＝90°， ∴∠QMN＝∠MBN. 又∵∠BNM＝∠MNQ＝90°， ∴Rt△BNM∽Rt△MNQ. ∴BN2－ 4433MN＝NMNQ，即4＝NQ. 3 ∴NQ＝83.∴OQ＝NQ－ON＝8443－3＝3. ∴Q(－4 3 ，0)． 解法二：如图6所示：当∠QMB＝90°时， 图6 ∵∠CMQ＝90°， ∴只能CM＝MQ. 设M点坐标为(m，－2m＋4)(0 OB＝2 ＝2， 又∵tan∠MBQ＝MQBM， 由(ⅰ)知BM＝25－5m，MQ＝CM＝5m. ∴tan∠MBQ＝MQBM＝5m25－5m＝2. 7 ∴5m＝45－25m. 444∴m＝.∴M(，)． 333 24 此时，BM＝25－5m＝5，MQ＝5. 33∴BQ＝BM＋MQ＝ 2210010＝. 93 104 ∴OQ＝BQ－OB＝－2＝. 334 ∴Q(－，0)． 3 4 综上所述，满足条件的点Q的坐标为(45－8，0)或(－，0)． 3方法指导 1．在解答直角三角形的存在性问题时，具体方法如下： (1)先假设结论成立，根据直角顶点的不确定性，分情况讨论； (2)找点：当所给定长未说明是直角三角形的斜边还是直角边时，需分情况讨论，具体方法如下： ①当定长为直角三角形的直角边时，分别以定长的某一端点作定长的垂线，与坐标轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点； ②当定长为直角三角形的斜边时，以此定长为直径作圆，圆弧与所求点满足条件的坐标轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点； (3)计算：把图形中的点坐标用含有自变量的代数式表示出来，从而表示出三 角形的各边(表示线段时，还要注意代数式的符号)，再利用相似三角形的性质得出比例式，或者利用勾股定理进行计算，或者利用三角函数建立方程求点的坐标．(如P207T2(2)②) 2．除了探究直角三角形外，还常常探究等腰三角形的存在性，这个和直角三角形的方法类似： (1)假设结论成立； (2)找点：当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分情况讨论，具体方法如下： ①当定长为腰时，找已知直线或抛物线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与坐标轴或抛物线有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为符合条件的点； ②当定长为底边时，根据尺规作图作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线有交点，则交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线无交点，则满足条件的点不存在； 以上方法即可找出所有符合条件的点； (3)计算：在求点的坐标时，大多时候利用相似三角形求解，如果图形中没有相似三角形，可以通过添加辅助线构造直角三角形，有时也可利用直角三角形的性质进行求解．(如P207T1(3)，P208T3(3)) 如图，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A 8 落到点C，过点B的抛物线y＝－x＋bx＋c与直线BC交于点D(3，－4)． (1)求直线BD和抛物线的解析式； 2 【思路点拨】 由直线y＝2x＋2可求出B点的坐标，把B，D两点代入y＝－x＋bx＋c中即可求出抛物线解析式，由B，D两点可求出直线BD的解析式． 2 【答题示范】 ∵y＝2x＋2， ∴当x＝0时，y＝2. ∴B(0，2)． ∵当y＝0时，x＝－1， ∴A(－1，0)． 2 ∵抛物线y＝－x＋bx＋c过点B(0，2)，D(3，－4)， 2＝c，b＝1，∴解得 －4＝－9＋3b＋c.c＝2. ∴抛物线的解析式为y＝－x＋x＋2. 设直线BD的解析式为y＝kx＋m，由题意，得 m＝2，k＝－2，解得 －4＝3k＋m，m＝2. 2 ∴直线BD的解析式为y＝－2x＋2. (2)在第一象限内的抛物线上，是否存在点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M，O，N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； 【思路点拨】 与△BOC相似的△MON，只有两个直角顶点可以确定对应，所以要分两种情况讨论，再利用△MON的两条直角边长恰好是点M的坐标，与△BOC的两直角边对应成比例，便可列出方程，求解即可，注意是否符合条件． 2 【答题示范】 存在．由(1)知C(1，0)，设M(a，－a＋a＋2)． ∵MN⊥x轴，∴∠BOC＝∠MNO＝90°，即点O与点N对应，可分两种情况讨论： ①如图1，当△BOC∽△MNO时，＝. BOOCMNNO 9 ∴ 21 ＝，解得a1＝1，a2＝－2(舍)．∴M(1，2)； －a＋a＋2a2 ②如图2，当△BOC∽△ONM时，＝. 211＋331－33∴＝2，解得a1＝，a2＝(舍)． a－a＋a＋2441＋331＋33∴M(，)． 48 1＋331＋33 ∴符合条件的点M的坐标为(1，2)或(，)．, 48 方法指导 探究三角形相似的存在性问题的一般思路： 解答三角形相似的存在性问题时，要具备分类讨论的思想以及数形结合思想，要先找出三角形相似的分类标准，一般涉及动态问题要以静制动，动中求静，具体如下： (1)假设结论成立，分情况讨论．探究三角形相似时，往往没有明确指出两个三角形的对应顶点(尤其是以文字形式出现让证明两个三角形相似的题目)，或者涉及动点问题，因动点问题中点的位置不确定，此时应考虑不同的对应关系，分情况讨论； (2)确定分类标准：在分类时，先要找出分类的标准，看两个相似三角形是否有对应相等的角，若有，找出对应相等的角后，再根据其他角进行分类讨论来确定相似三角形成立的条件；若没有，则分别按三种角对应来分类讨论； (3)建立关系式，并计算．由相似三角形列出相应的比例式，将比例式中的线段用所设点的坐标表示出来(其长度多借助勾股定理运算)，整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通过计算得出相应的点的坐标．(如P208T(3)①，P210T1(2)) (3)在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，是否存在点P，使四边形BOHP是平行四边形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 点P在抛物线上，可设出点P的坐标，从而可表示出点H的坐标，因为作PH⊥x轴，所以可得PH∥OB.要证四边形BOHP是平行四边形，只需证PH＝OB，再利用PH的长 BOOCONNM 10 可列方程求出P点的坐标． 【答题示范】 存在． 2 设P(t，－t＋t＋2)，H(t，－2t＋2)．如图3， ∵四边形BOHP是平行四边形， ∴BO＝PH＝2. 22 ∵PH＝－t＋t＋2＋2t－2＝－t＋3t. 2 ∴2＝－t＋3t，解得t1＝1，t2＝2. 当t＝1时，P(1，2)； 当t＝2时，P(2，0)． ∴存在点P(1，2)或(2，0)，使四边形BOHP为平行四边形． 方法指导 在解答平行四边形的存在性问题时，具体方法如下： (1)假设结论成立； (2)探究平行四边形通常有两类，一类是已知两定点去求未知点的坐标，一类是已知给定的三点去求未知点的坐标．第一类，以两定点连线所成的线段作为要探究平行四边形的边或对角线，画出符合题意的平行四边形；第二类，分别以已知三个定点中的任意两个定点确定的线段为探究平行四边形的边或对角线，画出符合题意的平行四边形； (3)建立关系式，并计算．根据以上分类方法画出所有符合条件的图形后，可以利用平行四边形的性质进行计算，也可利用全等三角形、相似三角形或直角三角形的性质进行计算，要具体情况具体分析，有时也可以利用直线的解析式联立方程组，由方程组的解为交点坐标求解．(如P208T1(3)) 11 类型1 探究线段最值问题 1．(2018·永州)如图1，抛物线的顶点A的坐标为(1，4)，抛物线与x轴相交于B，C两点，与y轴交于点E(0，3)． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点F(0，－3)，在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG＋FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB.抛物线相交于点M，N(点M，N都在抛物线对称轴的右侧)，当MN最大时，求△PON的面积． 图1 图2 解：(1)设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2 ＋4， 把(0，3)代入，得3＝a(0－1)2 ＋4，解得a＝－1. ∴抛物线的表达式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2 ＋2x＋3. (2)存在． 作点E关于对称轴的对称点E′，连接E′F交对称轴于G，此时EG＋FG的值最小．∵E(0，3)，抛物线对称轴为直线x＝1，∴E′(2，3)． 易得直线E′F的解析式为y＝3x－3. 当x＝1时，y＝3×1－3＝0. ∴G(1，0)． (3)∵A(1，4)，B(3，0)， 易得直线AB的解析式为y＝－2x＋6. 过点N作NH⊥x轴于点H，交AB于点Q， 设N(m，－m2 ＋2m＋3)，则Q(m，－2m＋6)(1≤m≤3)． ∴NQ＝(－m2＋2m＋3)－(－2m＋6)＝－m2 ＋4m－3. ∵AD∥NH，∴∠DAB＝∠NQM. ∵∠ADB＝∠QMN＝90°，∴△QMN∽△ADB. 2 ∴QNAB－m＋4m－32MN＝DB.∴MN＝52. ∴MN＝－555(m－2)2 ＋5 . ∵－5 5 ＜0，∴当m＝2时，MN有最大值． 12 过点N作NG⊥y轴于点G， ∵∠GPN＝∠ABD，∠NGP＝∠ADB＝90°， ∴△NGP∽△ADB. PGBD2111∴＝＝＝.∴PG＝NG＝m. NGAD4222 1322 ∴OP＝OG－PG＝－m＋2m＋3－m＝－m＋m＋3. 221132 ∴S△PON＝OP·GN＝(－m＋m＋3)·m. 2221 当m＝2时，S△PON＝×2(－4＋3＋3)＝2. 2 2．(2018·柳州)如图，抛物线y＝ax＋bx＋c与x轴交于A(3，0)，B两点(点B在点A的左侧)，与y轴交于点C，且OB＝3OA＝3OC，∠OAC的平分线AD交y轴于点D，过点A且垂直于AD的直线l交y轴于点E，点P是x轴下方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，交直线AD于点H. (1)求抛物线的解析式； (2)设点P的横坐标为m，当FH＝HP时，求m的值； 1 (3)当直线PF为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，HC为半径作⊙H，点Q为⊙H上的一 21 个动点，求AQ＋EQ的最小值． 4 2 解：(1)由题意，得A(3，0)， B(－33，0)，C(0，－3)， 设抛物线的解析式为y＝a(x＋33)(x－3)， 1 把C(0，－3)代入得到a＝， 31223 ∴抛物线的解析式为y＝x＋x－3. 33 13 OC (2)在Rt△AOC中，tan∠OAC＝＝3， OA∴∠OAC＝60°. ∵AD平分∠OAC，∴∠OAD＝30°. ∴OD＝OA·tan30°＝1.∴D(0，－1)． ∴直线AD的解析式为y＝ 3 x－1. 3 12233 由题意，得P(m，m＋m－3)，H(m，m－1)，F(m，0)． 333∵FH＝PH，∴1－ 331223m＝m－1－(m＋m－3)，解得m＝－3或3(舍去)． 3333 ∴当FH＝HP时，m的值为－3. (3)如图， ∵PF是对称轴，∴F(－3，0)，H(－3，－2)． ∵AH⊥AE，∴∠EAO＝60°.EA＝2OA＝23. ∵C(0，－3)， ∴HC＝（3）＋1＝2，AH＝2FH＝4. 1 ∴QH＝CH＝1. 2 1 在HA上取一点K，使得HK＝. 415 AK＝AH－HK＝. 4 ∵HQ＝1，HK·HA＝1， 2 ∴HQ＝HK·HA，可得△QHK∽△AHQ. KQHQ11 ∴＝＝，即KQ＝AQ. QAHA441 ∴AQ＋QE＝KQ＋EQ. 4 122 ∴当E，Q，K共线时，AQ＋QE的值最小，最小值为EK＝AE＋AK＝ 4＝ 417. 4 类型2 探究角度问题 2 1．(2018·莱芜)如图，抛物线y＝ax＋bx＋c经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，3)三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于点E. (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，求线段DE长度的最大值； (3)如图2，设AB的中点为F，连接CD，CF，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由． 1522 （23）＋（） 4 2 2 2 14 图1 图2 a－解：(1)由题意，得 b＋c＝0，16a＋4b＋c＝0，解得a＝－34 ，9b＝ c＝3，4， c＝3. ∴抛物线的函数表达式为y＝－34x2＋9 4x＋3. (2)设直线BC的解析式为y＝kx＋b， 由题意，得4k＋b＝0，k＝－34，解得b＝3， b＝3.∴y＝－3 4 x＋3. 设D(a，－34a2＋9 4a＋3)(0＜a＜4)，过点D作DM⊥x轴交BC于点M， 则M(a，－34a＋3)，DM＝(－329332 4a＋4a＋3)－(－4a＋3)＝－4a＋3a. ∵∠DME＝∠OCB，∠DEM＝∠BOC， ∴△DEM∽△BOC.∴DEDM＝BO BC . ∵OB＝4，OC＝3，∴BC＝5.∴DE＝4 5DM. ∴DE＝－35a2＋125a＝－35(a－2)2 ＋125. ∴当a＝2时，DE取最大值，最大值是12 5 . (3)假设存在这样的点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等． ∵点F为AB的中点， ∴OF＝32，tan∠CFO＝OC OF ＝2. 过点B作BG⊥BC，交CD的延长线于点G，过点G作GH⊥x轴，垂足为H， ①若∠DCE＝∠CFO， 15 GB ∴tan∠DCE＝＝2.∴BG＝10. BCGHHBGB ∵△GBH∽BCO，∴＝＝. BOOCBC∴GH＝8，BH＝6.∴G(10，8)． 设直线CG的解析式为y＝k1x＋b1， 1b＝3，k＝，11 2∴解得 10k1＋b1＝8，b1＝3. 1 ∴直线CG的解析式为y＝x＋3. 2 1 y＝x＋3，27∴解得x＝或x＝0(舍)． 339 y＝－4x＋4x＋3， 2 ②若∠CDE＝∠CFO， 5311 同理可得，BG＝，GH＝2，BH＝，∴G(，2)． 2222 同理可得，直线CG的解析式为y＝－x＋3. 11 107∴解得x＝或x＝0(舍)． 3339 y＝－x＋x＋3，44 2 2 y＝－x＋3， 11 7107 综上所述，存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等，点D的横坐标为或. 333 2．(2018·扬州)如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，6)，点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒． 5 (1)当t＝2时，线段PQ的中点坐标为(，2)； 2 (2)当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值； 2 (3)当t＝1时，抛物线y＝x＋bx＋c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为1 K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD＝∠MKQ？若存在，求出所有满足条件2的D的坐标；若不存在，说明理由． 16 图1 图2 解：(2)如图1，∵当点P与点A重合时运动停止，且△PAQ可以构成三角形，∴0＜t＜3. ∵四边形OABC是矩形，∴∠B＝∠PAQ＝90°. ∴当△CBQ与△PAQ相似时，存在两种情况： PAQB ①当△PAQ∽△QBC时，＝. AQBC3－t6－2t3∴＝.解得t1＝3(舍)，t2＝. 2t34PACB②当△PAQ∽△CBQ时，＝. AQBQ3－t39±35∴＝.解得t＝. 2t6－2t2 9＋35∵0＜t＜3，∴x＝不符合题意，舍去． 2 39－35 综上所述，当△CBQ与△PAQ相似时，t的值是或. 42(3)当t＝1时，P(1，0)，Q(3，2)， 2 把P(1，0)，Q(3，2)代入抛物线y＝x＋bx＋c中，得 1＋b＋c＝0，b＝－3，解得 9＋3b＋c＝2，c＝2. 3212 ∴抛物线解析式y＝x－3x＋2＝(x－)－. 2431 ∴顶点K(，－)． 24 ∵Q(3，2)，M(0，2)，∴MQ∥x轴． 作抛物线对称轴，交MQ于点E， ∴KM＝KQ，KE⊥MQ. 1 ∴∠MKE＝∠QKE＝∠MKQ. 21 如图2，∠MQD＝∠MKQ＝∠QKE. 2设DQ交y轴于点H. 17 ∵∠HMQ＝∠QEK＝90°，∴△KEQ∽△QMH. 12＋ 43KEQM ∴＝.∴＝. EQMH3MH 2∴MH＝2.∴H(0，4)． 2 易得HQ的解析式为y＝－x＋4. 3 2y＝－x＋4，23则解得x1＝3(舍)，x2＝－. 3 y＝x2－3x＋2，240∴D(－，)． 39 1 同理，在M的下方，y轴上存在点H，如图3，使∠HQM＝∠MKQ＝∠QKE， 2 图3 2 由对称性得，H(0，0)，易得OQ的解析式为y＝x. 32y＝x，2 则3解得x1＝3(舍)，x2＝. 32y＝x－3x＋2，24 ∴D(，)． 39 24024 综上所述，点D的坐标为(－，)或(，)． 3939 类型3 探究面积问题 2 1．(2018·菏泽)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax＋bx－5交y轴于点A，交x轴于点B(－5，0)和点C(1，0)，过点A作AD∥x轴交抛物线于点D. (1)求此抛物线的表达式； 18 (2)点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积； (3)若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积． 解：(1)∵抛物线y＝ax2 ＋bx－5交x轴于点B(－5，0)和点C(1，0)， ∴25a－5b－5＝0.a＋b－5＝0， 解得a＝1， b＝4.∴此抛物线的表达式是y＝x2 ＋4x－5. (2)∵抛物线y＝x2 ＋4x－5交y轴于点A， ∴点A的坐标为(0，－5)． ∵AD∥x轴，点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上， ∴点E的纵坐标是5，点E到AD的距离是10. 当y＝－5时，－5＝x2 ＋4x－5，得x＝0或x＝－4. ∴点D的坐标为(－4，－5)．∴AD＝4. ∴S＝4×10 △EAD2 ＝20. (3)设点P的坐标为(p，p2 ＋4p－5)， 设直线AB的函数解析式为y＝mx＋n，由题意，得 n＝－5，m＝－－5m＋n＝0，解得1， n＝－5. 即直线AB的函数解析式为y＝－x－5. 当x＝p时，y＝－p－5. 2 ∵OB＝5，∴S（－p－5）－（p＋4p－5）55225 △ABP＝2·5＝2[－(p＋2)＋4]． ∵点P是直线AB下方的抛物线上一动点， ∴－5＜p＜0. ∴当p＝－52时，S取得最大值，此时S＝125535 8，点P的坐标是(－2，－4 )． 19 535125 即点P的坐标是(－，－)时，△ABP的面积最大，此时△ABP的面积是. 248 2 2．(2018·内江)如图，已知抛物线y＝ax＋bx－3与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，交y轴于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D. (1)求抛物线的解析式； (2)若直线y＝m(－3＜m＜0)与线段AD，BD分别交于G，H两点，过点G作EG⊥x轴于点E，过点H作HF⊥x轴于点F，求矩形GEFH的最大面积； (3)若直线y＝kx＋1将四边形ABCD分成左、右两个部分，面积分别为S1，S2，且S1∶S2 ＝4∶5，求k的值． 备用图 2 解：(1)∵抛物线y＝ax＋bx－3与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)， 9a－3b－3＝0，a＝1，∴解得 a＋b－3＝0，b＝2. ∴抛物线的解析式为y＝x＋2x－3. 2 (2)由(1)知，抛物线的解析式为y＝x＋2x－3， ∴C(0，－3)． 2 由x＋2x－3＝－3，得x＝0或x＝－2. ∴D(－2，－3)． ∵A(－3，0)和点B(1，0)， ∴直线AD的解析式为y＝－3x－9，直线BD的解析式为y＝x－1. ∵直线y＝m(－3＜m＜0)与线段AD，BD分别交于G，H两点， 1 ∴G(－m－3，m)，H(m＋1，m)． 314 ∴GH＝m＋1－(－m－3)＝m＋4. 33442 ∴S矩形GEFH＝－m(m＋4)＝－(m＋3m) 33432 ＝－(m＋)＋3. 32 2 20 ∴当m＝－3 2时，矩形GEFH有最大面积为3. (3)∵A(－3，0)，B(1，0)，∴AB＝4. ∵C(0，－3)，D(－2，－3)，∴CD＝2. ∴S1 四边形ABCD＝2 ×3×(4＋2)＝9. ∵S1∶S2＝4∶5，∴S1＝4. 设直线y＝kx＋1与线段AB相交于点M，与线段CD相交于点N， ∴M(－1k，0)，N(－4 k，－3)． ∴AM＝－1k＋3，DN＝－4 k＋2. ∴S114 1＝2(－k＋3－k＋2)×3＝4. ∴k＝157 . 21 类型4 探究特殊三角形的存在性问题 123 1．(2018·赤峰)已知抛物线y＝－x－x的图象如图所示： 22 (1)将该抛物线向上平移2个单位长度，分别交x轴于A，B两点，交y轴于点C，则平移123 后的解析式为y＝－x－x＋2； 22 (2)判断△ABC的形状，并说明理由； (3)在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以A，C，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 123 解：(2)当y＝0时，－x－x＋2＝0，解得x1＝－4，x2＝1，即B(－4，0)，A(1，0)． 22当x＝0时，y＝2，即C(0，2)． 2 AB＝1－(－4)＝5，AB＝25， 222222 AC＝(1－0)＋(0－2)＝5，BC＝(－4－0)＋(0－2)＝20， 222 ∵AC＋BC＝AB， ∴△ABC是直角三角形． 12333 (3)y＝－x－x＋2的对称轴是直线x＝－，设P(－，n)， 22223225292222222 AP＝(1＋)＋n＝＋n，CP＝＋(2－n)，AC＝1＋2＝5， 24425222 当AP＝AC时，AP＝AC，＋n＝5，方程无解； 4 25293222 当AP＝CP时，AP＝CP，＋n＝＋(2－n)，解得n＝0，即P1(－，0)． 442 11113112292 当AC＝CP时AC＝CP，＋(2－n)＝5，解得n1＝2＋，n2＝2－，P2(－，2＋)， 42222311 P3(－，2－)． 22 33综上所述：使得以A，C，P为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标(－，0)，(－， 222＋ 11311 )，(－，2－)． 222 22 2．(2018·临沂)如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，OC＝2OB，tan∠ABC＝2，点B的 2 坐标为(1，0)．抛物线y＝－x＋bx＋c经过A，B两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，1 使PE＝DE. 2 ①求点P的坐标； ②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)∵B(1，0)， ∴OB＝1. ∵OC＝2OB＝2， ∴C(－2，0)． 在Rt△ABC中，tan∠ABC＝2， AC ∴＝2.∴AC＝6.∴A(－2，6)． BC 把A(－2，6)和B(1，0)代入y＝－x＋bx＋c，得 －4－2b＋c＝6，b＝－3，解得 －1＋b＋c＝0，c＝4. 2 ∴抛物线的解析式为y＝－x－3x＋4. (2)①∵A(－2，6)，B(1，0)，易得AB的解析式为y＝－2x＋2. 2 设P(x，－x－3x＋4)，则E(x，－2x＋2)． 112 ∵PE＝DE，∴－x－3x＋4－(－2x＋2)＝(－2x＋2)，解得x＝1(舍)或－1. 22∴P(－1，6)． ②∵M在直线PD上，且P(－1，6)，设M(－1，y)， 2222 ∴AM＝(－1＋2)＋(y－6)＝1＋(y－6). 2222BM＝(1＋1)＋y＝4＋y. 222 AB＝(1＋2)＋6＝45. 2 23 分三种情况： 222 i)当∠AMB＝90°时，有AM＋BM＝AB， ∴1＋(y－6)＋4＋y＝45，解得y＝3±11. ∴M(－1，3＋11)或(－1，3－11)． 222 ii)当∠ABM＝90°时，有AB＋BM＝AM， 22 ∴45＋4＋y＝1＋(y－6)，解得y＝－1. ∴M(－1，－1)． 222 iii)当∠BAM＝90°时，有AM＋AB＝BM， 1322 ∴1＋(y－6)＋45＝4＋y，解得y＝. 213 ∴M(－1，)． 2 13 综上所述，点M的坐标为(－1，3＋11)或(－1，3－11)或(－1，－1)或(－1，)． 2 2 3．(2018·眉山)如图1，已知抛物线y＝ax＋bx＋c的图象经过点A(0，3)，B(1，0)，其对称轴为直线l：x＝2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m. (1)求抛物线的解析式； (2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连接PE，PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值； (3)如图2，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2 2 图1 图2 解：(1)设抛物线与x轴的另一个交点为D，由对称性，得D(3，0)． 设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－3)． 把A(0，3)代入，得3＝3a，a＝1. 2 ∴抛物线的解析式为y＝x－4x＋3. 24 (2)设P(m，m－4m＋3)， ∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°. ∴△AOE是等腰直角三角形． ∴AE＝OA＝3.∴E(3，3)． 易得OE的解析式为y＝x. 过P作PG∥y轴，交OE于点G，∴G(m，m)． 22 ∴PG＝m－(m－4m＋3)＝－m＋5m－3. ∴S 四边形AOPE 2 11913215m2 ＝S△AOE＋S△POE＝×3×3＋PG·AE＝＋×3×(－m＋5m－3)＝－m＋＝－222222 35275 (m－)＋. 228 3575 ∵－＜0，∴当m＝时，S有最大值是. 228 (3)当点P在对称轴左侧时，过点P作MN⊥y轴，交y轴于点M，交l于点N， ∵△OPF是等腰直角三角形，且OP＝PF， 易得△OMP≌△PNF，∴OM＝PN. 22 ∵P(m，m－4m＋3)，则－m＋4m－3＝2－m， 5＋55－5 解得m＝或. 22 5＋55＋15－51－5 ∴P的坐标为(，)或(，)． 2222 当P在对称轴右侧时，过P′作M′N′⊥x轴于点N′，过F′作F′M′⊥M′N′于点M′， 同理得，△ON′P′≌△P′M′F′，∴P′N′＝F′M′. 3＋53－52 则－m＋4m－3＝m－2，解得x＝或； 223＋51－53－51＋5 P′的坐标为(，)或(，)． 2222综上所述，点P的坐标是：(( 3－51＋5 ，)． 22 5＋55＋15－51－53＋51－5 ，)或(，)或(，)或222222 类型5 探究特殊四边形存在性问题 2 1．(2018·自贡)如图，抛物线y＝ax＋bx－3过A(1，0)，B(－3，0)，直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为－2，点P(m，n)是线段AD上的动点． (1)求直线AD及抛物线的解析式； (2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？ (3)在平面内是否存在整点R(横、纵坐标都为整数)，使得P，Q，D，R为顶点的四边形是 25 平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由． 解：(1)把A(1，0)，B(－3，0)代入抛物线解析式，得 a＋b－3＝0，9a－3b－3＝0.解得a＝1， b＝2. ∴抛物线的解析式为y＝x2 ＋2x－3. ∴当x＝－2时，y＝－3，即D(－2，－3)． 设AD的解析式为y＝kx＋b，将A(1，0)，D(－2，－3)代入，得 k＋b＝0，－2k＋b＝－3，解得k＝1， b＝－1. ∴直线AD的解析式为y＝x－1. (2)设P点坐标为(m，m－1)，Q(m，m2 ＋2m－3)， ∴l＝(m－1)－(m2 ＋2m－3)＝－(m＋12)2＋94. ∴当m＝－12时，l99 最大＝4，即PQ长度最长为4 . (3)由(2)可知，0＜PQ≤9 4.当PQ为边时，DR∥PQ且DR＝PQ. ∵R是整点，D(－2，－3)，∴PQ是正整数． ∴PQ＝1或2.当PQ＝1时，DR＝1. 此时点R的横坐标为－2，纵坐标为－3＋1＝－2或－3－1＝－4，∴R(－2，－2)或R(－2，－4)． 当PQ＝2时，DR＝2. 此时点R的横坐标为－2，纵坐标为－3＋2＝－1或－3－2＝－5. ∴R(－2，－1)或R(－2，－5)． 当QR为边时，QR∥DP，且QR＝DP. 设点R的坐标为(n，n＋m2＋m－3)，则QR2＝2(m－n)2 . 又∵P(m，m－1)，D(－2，－3)，∴PD2＝2(m＋2)2 . ∴(m＋2)2＝(m－n)2 ，解得n＝－2(不合题意，舍去)或n＝2m＋2. ∴点R的坐标为(2m＋2，m2 ＋3m－1)． ∵R是整点，－2＜m＜1， ∴当m＝－1时，点R的坐标为(0，－3)； 26 当m＝0时，点R的坐标为(2，－1)． 综上所述，存在满足R的点，它的坐标为(－2，－2)或(－2，－4)或(－2，－1)或(－2，－5)或(0，－3)或(2，－1)． 2．(2018·齐齐哈尔)综合与探究 2 如图1所示，直线y＝x＋c与x轴交于点A(－4，0)，与y轴交于点C，抛物线y＝－x＋bx＋c经过点A，C. (1)求抛物线的解析式； (2)点E在抛物线的对称轴上，求CE＋OE的最小值； (3)如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P，N. 9 ①若以C，P，N为顶点的三角形与△APM相似，则△CPN的面积为或4； 2 ②若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． b4ac－b 注：二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(－，) 2a4a 2 2 图1 图2 解：(1)将A(－4，0)代入y＝x＋c，∴c＝4. 2 将A(－4，0)和c＝4代入y＝－x＋bx＋c， ∴b＝－3. 2 ∴抛物线解析式为y＝－x－3x＋4. (2)作点C关于抛物线的对称轴直线l的对称点C′，连接OC′，交直线l于点E.连接CE，此时CE＋OE的值最小． 3 ∵抛物线对称轴为直线x＝－，∴CC′＝3. 2由勾股定理，得OC′＝5，∴CE＋OE的最小值为5. ②存在． 设M坐标为(a，0)， 27 则N为(a，－a－3a＋4)． －a－3a＋4 则P点坐标为(a，)． 2 把点P坐标代入y＝x＋4. 解得a1＝－4(舍去)，a2＝－1，则P(－1，3)． 13 当PF＝FM时，点D在PM的垂直平分线上，则D(，)． 22 32323232 当PM＝PF时，由菱形性质得，点D坐标为(－1＋，)或(－1－，－)． 2222当MP＝MF时，M，D关于直线y＝x＋4对称，点D坐标为(－4，3)． 类型6 探究全等、相似三角形的存在性问题 1．(2018·衡阳)如图，已知直线y＝－2x＋4分别交x轴，y轴于点A，B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D. 2 2 (1)若抛物线的解析式为y＝－2x＋2x＋4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N. ①求点M，N的坐标； ②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由； (2)当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B，P，D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 解：(1)①如图1， 2 图1 1292 ∵y＝－2x＋2x＋4＝－2(x－)＋， 22 28 19 ∴顶点为M的坐标为(，)． 22 111 当x＝时，y＝－2×＋4＝3，则点N坐标为(，3)． 222②不存在．理由如下： 93MN＝－3＝. 22 设P点坐标为(m，－2m＋4)，则D(m，－2m＋2m＋4)， 22 ∴PD＝－2m＋2m＋4－(－2m＋4)＝－2m＋4m. ∵PD∥MN， 3132 当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，即－2m＋4m＝，解得m1＝(舍去)，m2＝. 2223 此时P点坐标为(，1)． 2∵PN＝ 1322 （－）＋（3－1）＝5，∴PN≠MN. 22 2 ∴平行四边形MNPD不为菱形． ∴不存在点P，使四边形MNPD为菱形． (2)存在． 如图2，OB＝4，OA＝2，则AB＝2＋4＝25. 2 2 图2 当x＝1时，y＝－2x＋4＝2，则P(1，2)． ∴PB＝1＋（2－4）＝5. 2 设抛物线的解析式为y＝ax＋bx＋4. 把A(2，0)代入，得4a＋2b＋4＝0，解得b＝－2a－2. 2 ∴抛物线的解析式为y＝ax－2(a＋1)x＋4. 2 当x＝1时，y＝ax－2(a＋1)x＋4＝a－2a－2＋4＝2－a，则D(1，2－a)． ∴PD＝2－a－2＝－a. ∵DC∥OB，∴∠DPB＝∠OBA. PDPB－a5∴当＝时，△PDB∽△BOA，即＝，解得a＝－2，此时抛物线解析式为y＝－ BOBA4252x＋2x＋4. 2 2 2 29 PDPB－a5552当＝时，△PDB∽△BAO，即＝，解得a＝－，此时抛物线解析式为y＝－xBABO22254＋3x＋4. 522 综上所述，满足条件的抛物线的解析式为y＝－2x＋2x＋4或y＝－x＋3x＋4. 2 2 2．如图，抛物线y＝ax＋c(a≠0)与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点(点C在x轴正半轴上)，△ABC为等腰直角三角形，且面积为4.现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线经过点C时，与x轴的另一交点为E，其顶点为F，对称轴与x轴的交点为H. (1)求a，c的值； (2)连接OF，试判断△OEF是否为等腰三角形，并说明理由； (3)现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与y轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使以点P，Q，E为顶点的三角形与△POE全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 图1 图2 图3 图4 30 图5 解：(1)∵△ABC为等腰直角三角形， ∴OA＝12 BC. 又∵S12 △ABC＝2BC·OA＝4，即OA＝4， ∴OA＝2. ∴A(0，2)，B(－2，0)，C(2，0)． ∴1c＝2，a＝－，解得2 4a＋c＝0. c＝2. ∴a＝－1 2，c＝2. (2)△OEF是等腰三角形．理由如下： 如图1，∵A(0，2)，B(－2，0)， ∴直线AB的函数解析式为y＝x＋2. 又∵平移后的抛物线顶点F在射线BA上， ∴设顶点F的坐标为(m，m＋2)． ∴平移后的抛物线函数表达式为y＝－12(x－m)2 ＋m＋2. ∵抛物线过点C(2，0)． ∴－12 (2－m)2 ＋m＋2＝0.解得m1＝0(舍去)，m2＝6. ∴平移后的抛物线函数解析式为y＝－1122(x－6)2 ＋8，即y＝－2x＋6x－10. 当y＝0时，－12x2 ＋6x－10＝0， 解得x1＝2，x2＝10. ∴E(10，0)，OE＝10. 又∵F(6，8)，OH＝6，FH＝8. ∴OF＝OH2 ＋FH2 ＝62 ＋82 ＝10. ∴OE＝OF，即△OEF为等腰三角形． (3)存在．点Q的位置分两种情形： 情形一：点Q在射线HF上， 当点P在x轴上方时，如图2. 图6 31 ∵△PQE≌△POE，∴QE＝OE＝10. 在Rt△QHE中，QH＝QE－HE＝10－4＝221，∴Q(6，221)； 当点P在x轴下方时，如图3，有PQ＝OE＝10， 过P点作PK⊥HF于点K，则PK＝6. 在Rt△PQK中，QK＝PQ－PK＝10－6＝8. ∵∠PQE＝90°，∴∠PQK＋∠HQE＝90°. ∵∠HQE＋∠HEQ＝90°，∴∠PQK＝∠HEQ. 又∵∠PKQ＝∠QHE＝90°， ∴△PKQ∽△QHE. PKQK68 ∴＝，即＝，解得QH＝3. QHEHQH4 ∴Q(6，3)． 情形二：点Q在射线AF上， 当PQ＝OE＝10时，如图4，有QE＝PO， ∴四边形POEQ为矩形，∴Q的横坐标为10. 当x＝10时，y＝x＋2＝12，∴Q(10，12)． 当QE＝OE＝10时，如图5. 过Q点作QM⊥y轴于点M，过E点作x轴的垂线交QM于点N. 设Q的坐标为(x，x＋2)， ∴MQ＝x，QN＝10－x，EN＝x＋2. 222 在Rt△QEN中，QE＝QN＋EN， 即10＝(10－x)＋(x＋2)，解得x＝4±14. 当x＝4＋14时，如图5，y＝x＋2＝6＋14， ∴Q(4＋14，6＋14)． 当x＝4－14时，如图6，y＝x＋2＝6－14， ∴Q(4－14，6－14)． 综上所述，存在点Q(6，221)或(6，3)或(10，12)或(4＋14，6＋14)或(4－14，6－14)，使以P，Q，E三点为顶点的三角形与△POE全等． 类型7 反比例函数与几何图形的综合 1．(2018·宜昌)如图，在平面直角坐标系中，矩形OADB的顶点A，B的坐标分别为A(－6，k 0)，B(0，4)．过点C(－6，1)的双曲线y＝(k≠0)与矩形OADB的边BD交于点E. x 3(1)填空：OA＝6，k＝－6，点E的坐标为(－，4)； 2123127 (2)当1≤t≤6时，经过点M(t－1，－t＋5t－)与点N(－t－3，－t＋3t－)的直线 2222 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 32 12 交y轴于点F，点P是过M，N两点的抛物线y＝－x＋bx＋c的顶点． 2 kk ①当点P在双曲线y＝上时，求证：直线MN与双曲线y＝没有公共点； xx12 ②当抛物线y＝－x＋bx＋c与矩形OADB有且只有三个公共点，求t的值； 2 ③当点F和点P随着t的变化同时向上运动时，求t的取值范围，并求在运动过程中直线MN在四边形OAEB中扫过的面积． 解：(1)∵A点坐标为(－6，0)，∴OA＝6. ∵点C(－6，1)在双曲线y＝k x上，∴k＝－6. 当y＝4时，x＝－63 4＝－2. ∴点E的坐标为(－3 2 ，4)． (2)①证明：设直线MN解析式为y1＝k1x＋b1. －123 k2t＋5t－2＝k1（t－1）＋b1，1＝1，由题意，得 －1解得 121 27b2t＋3t－2 ＝k1（－t－3）＋b1，1＝－2t＋4t－2.∵抛物线y＝－12 x2 ＋bx＋c过点M，N， －1t2 ＋5t－3＝－1 （t－1）2 ＋b（t222－1）＋c，∴解得b＝－1，－1t2 ＋3t－712 c＝5t－2. 22＝－2（－t－3）＋b（－t－3）＋c， ∴抛物线解析式为y＝－12x2 －x＋5t－2. ∴顶点P坐标为(－1，5t－3 2)． ∵P在双曲线y＝－6 x上， ∴(5t－32)×(－1)＝－6.∴t＝3 2 . 33 35 此时直线MN解析式为y＝x＋. 835y＝x＋，8联立 6 y＝－x，∴8x＋35x＋48＝0. 2 ∵Δ＝35－4×8×48＝1 225－1 536＜0， 6 ∴直线MN与双曲线y＝－没有公共点． x 12 ②当抛物线过点B，此时抛物线y＝－x＋bx＋c与矩形OADB有且只有三个公共点， 26 ∴4＝5t－2，得t＝. 5 当抛物线顶点在线段DB上，此时抛物线与矩形OADB有且只有三个公共点， 311∴5t－＝4，得t＝. 210611∴t＝或t＝. 510 33③∵点P的坐标为(－1，5t－)，∴yP＝5t－. 22 当1≤t≤6时，yP随t的增大而增大，此时，点P在直线x＝－1上向上运动． 121 ∵点F的坐标为(0，－t＋4t－)， 221152 ∴yF＝－(t－4)＋. 22 ∴当1≤t≤4时，yF随t的增大而增大． 此时，随着t的增大，点F在y轴上向上运动． ∴1≤t≤4. 当t＝1时，直线MN：y＝x＋3与x轴交于点G(－3，0)，与y轴交于点H(0，3)． 当t＝4－3时，直线MN过点A. 13 ∴当1≤t≤4时，直线MN在四边形AEBO中扫过的面积为S＝S四边形AEBO－S△GHO＝×(＋6)×4 22121－×3×3＝. 22 类型8 其他问题 1．(2018·武汉)抛物线L：y＝－x＋bx＋c经过点A(0，1)，与它的对称轴直线x＝1交于点B. (1)直接写出抛物线L的解析式； 2 2 34 (2)如图1，过定点的直线y＝kx－k＋4(k＜0)与抛物线L交于点M，N.若△BMN的面积等于1，求k的值； (3)如图2，将抛物线L向上平移m(m＞0)个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D.F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标． 图1 图2 解：(1)由题意，知－b2×（－1）＝1，解得b＝2，c＝1， c＝1. ∴抛物线L的解析式为y＝－x2 ＋2x＋1. (2)∵y＝kx－k＋4＝k(x－1)＋4， ∴当x＝1时，y＝4，即该直线所过定点G坐标为(1，4)． ∵y＝－x2＋2x＋1＝－(x－1)2 ＋2， ∴点B(1，2)．则BG＝2. ∵S＝1，即S－S11 △BMN△BNG△BMG＝2BG·xN－2 BG·xM＝1，∴xN－xM＝1. 由y＝kx－k＋4，， 得x2 ＋(ky＝－x2 ＋2x＋1－2)x－k＋3＝0. 2 解得x＝2－k±k－82 . 2 2 则x2－k＋k－82－k－k－8N＝2，xM＝2. 由x2N－xM＝1，得k－8＝1，∴k＝±3. ∵k＜0，∴k＝－3. (3)设抛物线L＝－x2 1的解析式为y＋2x＋1＋m， ∴C(0，1＋m)，D(2，1＋m)，F(1，0)． 设P(0，t)， ①当△PCD∽△FOP时，PCFO CD＝OP ， 35 1＋m－t12∴＝.∴t－(1＋m)t＋2＝0. 2tPCPO②当△PCD∽△POF时，＝， CDOF1＋m－tt1∴＝.∴t＝(m＋1)． 213(Ⅰ)当方程①有两个相等实数根时， 2 Δ＝(1＋m)－8＝0. 解得m＝22－1(负值舍去)， 此时方程①有两个相等实数根t1＝t2＝2. 22 方程②有一个实数根t＝. 3 22 ∴m＝22－1.此时点P的坐标为(0，2)和(0，)． 3 (Ⅱ)当方程①有两个不相等的实数根时， 1122 把②代入①，得(m＋1)－(m＋1)＋2＝0， 93解得m＝2(负值舍去)． 此时，方程①有两个不相等的实数根t1＝1，t2＝2. 方程①有一个实数根t＝1， ∴m＝2，此时点P的坐标为(0，1)和(0，2)． 22 综上，当m＝22－1时，点P的坐标为(0，2)和(0，)． 3当m＝2时，点P的坐标为(0，1)和(0，2)． 332 2．(2018·襄阳)直线y＝－x＋3交x轴于点A，交y轴于点B，顶点为D的抛物线y＝－x 24＋2mx－3m经过点A，交x轴于另一点C，连接BD，AD，CD，如图所示． (1)直接写出抛物线的解析式和点A，C，D的坐标； (2)动点P在BD上以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动，同时动点Q在CA上以每秒3个单位长度的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒．PQ交线段AD于点E. ①当∠DPE＝∠CAD时，求t的值； ②过点E作EM⊥BD，垂足为M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N，当PN＝EM时，求t的值． 36 解：(1)在y＝－3 2x＋3中，令x＝0，得y＝3，令y＝0，得x＝2， ∴点A(2，0)，点B(0，3)． 将点A(2，0)代入抛物线解析式，得 －3 4×4＋4m－3m＝0，解得m＝3. ∴抛物线解析式为y＝－32 4x＋6x－9. ∵y＝－34x2＋6x－9＝－34(x－4)2 ＋3， ∴点D(4，3)，对称轴为直线x＝4. ∴点C坐标为(6，0)． (2)如图1，由(1)，知BD＝AC＝4. 图1 根据0≤3t≤4，得0≤t≤4 3. ①∵B(0，3)，D(4，3)， ∴BD∥OC. ∴∠CAD＝∠ADB. ∵∠DPE＝∠CAD，∴∠DPE＝∠ADB. ∵AB＝22 ＋32 ＝13，AD＝（4－2）2 ＋32 ＝13， ∴AB＝AD.∴∠ABD＝∠ADB. ∴∠DPE＝∠ABD.∴PQ∥AB. ∴四边形ABPQ是平行四边形． ∴AQ＝BP，即2t＝4－3t，解得t＝4 5. 即当∠DPE＝∠CAD时，t＝4 5 秒． ②(Ⅰ)当点N在AB上时，0≤2t≤2，即0≤t≤1. 连接NE，延长PN交x轴于点F，延长ME交x轴于点H， 37 图2 ∵PN⊥BD，EM⊥BD，BD∥OC，PN＝EM， ∴OF＝BP＝2t，PF＝OB＝3，NE＝FH，NF＝EH，NE∥FQ. ∴FQ＝OC－OF－QC＝6－5t. 3 ∵点N在直线y＝－x＋3上， 2∴点N的坐标为(2t，－3t＋3)． ∴PN＝PF－NF＝3－(－3t＋3)＝3t. NEPN ∵NE∥FQ，∴△PNE∽△PFQ.∴＝. FQPFPN3t2 ∴FH＝NE＝·FQ＝×(6－5t)＝6t－5t. PF3∵A(2，0)，D(4，3)， 3 ∴直线AD解析式为y＝x－3. 23 ∵点E在直线y＝x－3上， 2∴点E的坐标为(4－2t，－3t＋3)． ∵OH＝OF＋FH， 2 ∴4－2t＝2t＋6t－5t， 解得t＝1＋55＞1(舍)或t＝1－. 55 44 (Ⅱ)当点N在AD上时，2＜2t≤4，且0≤t≤，即1＜t≤. 33∵PN＝EM， ∴点E，N重合，此时PQ⊥BD. ∴BP＝OQ. 6 ∴2t＝6－3t，解得t＝. 5综上所述，当PN＝EM时，t＝(1－ 56 )秒或t＝秒． 55 3．(2018·孝感)如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A和点B的坐标分别为A(－2，0)，B(0，－6)，将Rt△AOB绕点O按顺时针方向分别旋转90°，180°得到Rt△A1OC，Rt△EOF.抛物线C1经过点C，A，B，抛物线C2经过点C，E，F. 38 图1 图2 12 (1)点C的坐标为(－6，0)，点E的坐标为(2，0)，抛物线C1的解析式为y＝－x－4x－6， 212 抛物线C2的解析式为y＝－x－2x＋6； 2(2)如果点P(x，y)是直线BC上方抛物线C1上的一个动点． ①若∠PCA＝∠ABO时，求P点的坐标； ②如图2，过点P作x轴的垂线交直线BC于点M，交抛物线C2于点N，记h＝PM＋NM＋2BM，求h与x的函数关系式，当－5≤x≤－2时，求h的取值范围． 解：(2)①若点P在x轴上方，∠PCA＝∠ABO时，则CA1与抛物线C1的交点即为点P. 设直线CA1的解析式为y＝k1x＋b1， 1k1＝，0＝－6k1＋b1，3 ∴解得 2＝b1，b1＝2. 1 ∴直线CA1的解析式为y＝x＋2. 3 18y＝－x－4x－6，x＝－，23x＝－6， 联立解得或 110y＝0. y＝x＋2，y＝.39 2 1 22 1 810根据题意，P点坐标为(－，)． 39 若点P在x轴下方，∠PCA＝∠ABO时，则CA1关于x轴对称的直线CA2与抛物线C1的交点即为点P. 设直线CA2解析式为y＝k2x＋b2. 1k2＝－，0＝－6k2＋b2，3 ∴解得 －2＝b2，b2＝－2. 1 ∴直线CA2的解析式为y＝－x－2. 3 39 124y＝－x－4x－6，x1＝－，23x2＝－6， 联立解得或 114y2＝0. y＝－x－2，y1＝－.39 414 由题意，点P坐标为(－，－)． 39 810414 ∴符合条件的点P为(－，)或(－，－)． 3939②设直线BC的解析式为y＝kx＋b. 0＝－6k＋b，k＝－1， ∴解得 －6＝b，b＝－6. ∴设直线BC的解析式为y＝－x－6. 过点B作BD⊥MN于点D，则BM＝2BD. ∴2BM＝2BD＝2|x|＝－2x. 12 h＝PM＋NM＋2BM＝(yP－yM)＋(yN－yM)＋2|x|＝yP－yM＋yN－yM－2x＝[－x－4x－6－(－ 2122 x－6)]＋[－x－2x＋6－(－x－6)]＋(－2x)＝－x－6x＋12. 2 ∴h＝－(x＋3)＋21. 当x＝－3时，h的最大值为21. ∵－5≤x≤－2， 2 ∴当x＝－5时，h＝－(－5＋3)＋21＝17. 2 当x＝－2时，h＝－(－2＋3)＋21＝20. ∴h的取值范围是17≤h≤21. 2 40 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容