概率论与数理统计测试题及答案1

一、填空题(每小题3分，共15分)

1．将3个小球随机地放到3个盒子中去，每个盒子都有1个小球的概率为__________.

2．设A，B是两事件，P(A)1/4,P(B|A)1/3，则P(AB)__________. 3．掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和是5，则其中有一颗是1点的概率是__________.

0,x14．设随机变量X的分布函数为F(x)lnx,1xe，则X的概率密度为

1,xe__________.

5．设总体X~U[0，1]，X1,X2,X3是其一个样本，则

P{max(X1,X2,X3)1/2}__________.

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．设两事件A与B互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则( )正确. （A）A与B互不相容; （B）P(AB)P(A)P(B);

（C）P(AB)P(A)P(B); （D）P(AB)P(A).

2．一种零件的加工由两道工序完成，第一道工序、第二道工序的废品率分别为p，q，设两道工序的工作是独立的，则该零件的合格品率是 ( )

（A）1pq；(B) 1pq； (C) 1pqpq；(D) (1p)(1q). 3．设X~t(n),则X2服从 ( )分布

(A) 2(n)； （B）F(1,n)； （C）F(n,1)； （D）F(1,n1). 4．设随机变量X与Y的协方差Cov(X,Y)0,则下列结论正确的是 ( ) (A) X与Y独立； （B）D(XY)D(X)D(Y); （C）D(XY)D(X)D(Y)； (D) D(XY)D(X)D(Y)

5.设X1,X2,,Xn为来自正态总体N(,2)的一个样本，

1nX,S((XiX)2)分别为样本均值和样本方差，则下面结论中不正n1i12确的是 ( )

2n(A)

X~N(,);(B)E(S2)2;(C)E(S2)n2; n1(D)(n1)S2/2~2(n1).

三、解答题（6个小题，共60分）

1．（10分）设一仓库中有10箱同样规格产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别为5箱、3箱、2箱，三厂产品的废品率依次为、、，从这10箱产品中任取一箱，再从该箱中任取一件产品.(1)求取到的产品为废品的概率；(2)若已知取到的产品为废品，求该废品是由甲厂生产的概率.

2．（10分）对一批次品率为的产品进行重复抽样检查，现抽取3件产品，以X表示抽取的3件产品中次品的件数，试求（1）X的分布律；（2）至少有一件是次品的概率.

asinx,0x3．（12分）设连续型随机变量X的概率密度为f(x)求：，0,其它（1）系数a; (2) 分布函数F(x);(3)P{/4X/2}.

4．（8分）设二维随机变量(X,Y)的分求X与Y的协方差Cov（X，Y）及P{X +Y 5．（10分）设随机变量(X,Y)的概率密

6y,0yx1f(x,y)

0,其它Y 1 X 0 布律为 1}. 度

为

0 1 （2）判

（1）试求关于X及Y的边缘概率密度；断X与Y是否相互独立，并说明理由.

(1)x,0x1的概率密度为f(x;)，其中

0,其它,Xn是X的样本，求参数

6．（10分）设总体X(1)是未知参数，X1,X2, 的矩估计量

与最大似然估计量.

四、证明题（2个小题，共10分）

1． （5

分）设随机变量X～N（0，1），证明随机变量YX(0)～

N(,2).

2．（5分）设X1,X2,X3,X4是来自总体N(,2)的样本，证明

(X1X2)2(X3X4)2Y

22服从2分布，并写出自由度.

一、填空题(每小题3分，共15分)

1/x,1xe1．2/9；2．1/12；3．1/2；4． f(x)；5．1/8.

0,其它二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．（D）2． (C)；3．（B）；4．（B）；5. (C).

三、解答题（6个小题，共60分）

1．（10分）解： A1,A2,A3分别表示取得产品是甲、乙、丙厂生产的，B表示取出的产品为废品，

P(A1)=，P(A2)=，P(A3)=，P(B|A1)=，P(B|A2)=，P(B|A3)= ………3分

(1)

P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) ………5分

=++= ………7分

(2)

………10分 2．（10分）解：

P(A1|B)P(A1)P(B|A1)0.50.150.29

P(B)0.1717(1) X～b(3，，

P{Xk}C3k0.1k0.93k(k0,1,2,3) ………3分

X 0 1 2 3 p ……7分 (2)P{X1}=1

P{X=0}= 10分

3．（12分）解： （

1

0asinxdx1a12; ………3分 （

2

F(x)xf(t)dt－

………）

）

………6分

,x00x1sintdt,0x02,x1,x001cosx,0x2,x1

………10分

12(3)P{/4X/2}2sinxdx.442

………12分

4．（8分）解： E（X）＝，E（Y）＝，E（XY）＝ ………4分

Cov（X，Y）＝E（XY）－E（X）E（Y）＝

－ ………6分

P{X +Y 1}=

＋

＋

= ………8分 5．（10分）解： （

fX(x)1

f(x,y)dyx6ydy,0x10,其它0）

3x2,0x10,其它

………4分

fY(y)16ydx,0y16y(1y),0y1f(x,y)dxy ………0,其它0,其它8分 （

2

）

X

与

Y

不

相

互

独

立

f(x,y)fX(x)fY(y) ………10分

6．（10分）解 （1）矩估计量

1E(X)1x(1)xdx102 …3分

1211ˆ12X 1X1……5分

(2) 最大似然估计量

对于给定样本值x1,x2,,xn,似然函数为

nnL()f(xi;)(1)xi(1)n(x1x2xn),0xi1 i1i1

nnlnL()nln(1)lnxdni，lnL()i1d1lnxi0 i1因

为

………………7分

………8分

，

ˆnlnxii1nlnxi1n，最大似然估计量为

iˆnlnXii1nlnXi1n ………10分

i四、证明题（2个小题，共10分） 1

．

证

1e2x22明 ：X的概率密度为

fX(x), ………1分

函数yx,y0,y(,)，x分

1fY(y)fX[h(y)]|h(y)|e2(yu)222yh(y),h(y)1, ………3

Y~N(,2). ………

5分

XX4X1X2~N(0,1),同理3~N(0,1),………2

22X1X2~N(0,22)2．证明：

分 两

者

独

立

………4分 因

(X1X2)2(X3X4)2Y~2(2) ………5分 22此