曲线积分与曲面积分总结

一、对弧长的曲线积分

Lf(x,y)dsf(x,y)d2xd2yL

若

xx(t) t L:yy(t)则 原式=

f(x(t),y(t))x2(t)y2(t)dt

L

对弧长的曲线积分

Lf(x,y,z)dsf(x(t),y(t),z(t))d2xd2yd2zxx(t)若 L:yy(t) t

zz(t)则 原式=

f(x(t),y(t),z(t))(x(t))2x(y(t))2(z(t))2dt

常见的参数方程为：

xx yy(x)yy(x)xx(y) xx(y)yy2 x2 yyxx y22

特别的：

Lex2y2dse2dse2dse2.2

LL

L为上半圆周x2y2=2(y0)

二、对坐标的曲线积分

Lp(x,y)dxq(x,y)dy

计算方法一： 若

xx(t) 起点处t，终点处tL:yy(t) 则

原式=

p(x(t),y(t))x(t)dtq(x(t),y(t))y(t)dt

对坐标的曲线积分

LP(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz

xx(t) L:yy(t)zz(t) 原式=

起点处

t，终点处t 则

P(x(t),y(t),z(t))x(t)dtQ(x(t),y(t),z(t))y(t)dtR(x(t),y(t),z(t))z(t)dt

计算方法二：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式，后者利用参数方程。

LL1p(x,y)dxq(x,y)dyp(x,y)dxq(x,y)dy

L1(D如图：

qp)dxdyp(x,y)dxq(x,y)dy

L1xyL L1

三、格林公式

(Dqp)dxdyxyLp(x,y)dxq(x,y)dy 其中L为D的正向边界

特别地：当

qp时，积分与路径无关，

xy且

(x2,y2)(x1,y1)p(x,y)dxq(x,y)dyp(x,y1)dxq(x2,y)dy

x1y1x2y2

P(x,y)dxQ(x,y)dydU(x,y)是某个函数的全微分QP

xy 注：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式。 四、对面积的曲面积分

1、 当曲面为

zf(x,y)(x,y,z)ds(x,y,f(x,y))Dxy1fx2fy2dxdy

2、 当曲面为

yf(x,z)(x,y,z)ds(x,f(x,z),z)Dxz1fx2fz2dxdz

3、 当曲面为

xf(y,z)(x,y,z)ds(f(y,z),y,z)Dyz1fy2fz2dydz

特别的：

ds面积。

例：

ex2y2z2dse2dse222dse2r 

为上半球面

x2y2z22(z0)

五、对坐标的曲面积分

1、

R(x,y,z)dxdy中，

只能为zf(x,y)，它在xoy面的投影为Dxy，且外法向量与Z轴正向的夹角为锐角，则 原式

，否则为负；

=

R(x,y,f(x,y))dxdyD 2、

Q(x,y,z)dzdx中，

只能为yf(x,z)，它在xoz面的投影为Dxz，且外法向量与Y轴正向的夹角为锐角，则 原式

，否则为负；

=

R(x,f(x,z),z)dxdzD3、

P(x,y,z)dydz中，

只能为xf(y,z)，它在yoz面的投影为Dyz，且外法向量与X轴正向的夹角为锐角，则 原式

=

R(f(y,z),y,z)dydzD，否则为负；

计算方法：

P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy1P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdyP(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy1=

(PQR)dvP(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy

xyz1注：在计算曲面积分时，通过适当的添加平面或曲面，是之变成一个封闭曲面上的曲面积分与所添加平面或曲面上的曲面积分之差，从而对前者利用高斯公式。

六、高斯公式

PdydzQdzdxRdxdy(其中

PQR)dv

xyz是的边界曲面的外侧。

注：在计算曲面积分时，通过适当的添加平面或曲面，是之变成一个封闭曲面上的曲面积分与所添加平面或曲面上的曲面积分之差，从而对前者利用高斯公式。

例如：计算

1222(zx)dydzzdxdy(xy)(0z2)的部分曲面。 ，其中是旋转抛物面z2x2y2练习

1、 求

Leds,L:x2y21

2、 求

Lxds,L:yx2,0x1

3、 求

I(exsinyb(xy))dx(excosyax)dyL到点O(0,0)的弧。

，其中

a,b为正常数，L从点A(2a,0)沿曲线

y2axx24、

计算

I(exsinymy)dx(excosym)dyL,其中

L为由点

(a,0)到点

(0,0)的上半圆周

x2y2ax,y0

5、

x2y2计算

L(x2xy)dy，其中L是由A(a,0)沿a2b21(y0)到B(a,0)的曲线段。

2计算

6、

xe2y2z2ds，其中为球面

x2y2z2a2

7、 计算

2222，是z1(xyz)dydz(yzx)dzdx2zdxdyxy2222，是z(xyz)dydz(yzx)dzdx2zdxdyxy被z=0所截部分的外侧。

8、 计算

0z2方向为外侧。