（1）标准方程——请看圆心和半径
从圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2 = r2（r>0）中，我们能看见它的图形特征：圆心即定点（a，b），半径即定长r. a，b确定了圆的位置，r确定了圆的大小.
确定一个圆需要三个条件，1个圆心相当2个条件，而半径只相当1个条件.
【例1】 求过点A（5，2）和点B（3，-2），圆心在直线2x-y=3上的圆的方程.
【分析】点A和点B已知相当2个条件，圆心在已知直线上只相当1个条件. 三个条件已知，圆的方程可定.【解析】 设圆心为（a，b）,则有
解得
即圆心为（2，1）.
由距离公式得半径 r 2=因此所求圆的方程为 .
【点评】 具备三个独立条件方能确定圆的三个参数值，即确定圆的方程. 如果还有某个条件未能确定，则得到的是“圆系”（圆的集合）方程. 当题设中有条件很隐晦时，可先按“显形条件”求出圆系方程，再让圆系方程满足隐晦条件而把圆方程最后确定.（2）一般方程——看圆的代数式特征
如果把圆的标准方程称作圆方程的“几何式”，而圆的一般方程则可称作圆方程的“代数式”.
圆的一般方程为 ①
这是一个缺“混合二次项xy”、且x2和y2两项系数相等且不为零的二元二次方程. 它的图形是否为圆，还有限制条件.将①配方得整理得 ②
（1）当时，依②知①表示以为圆心，为半径的圆；（2）当，①表示点圆；
（3）当，①不表示任何图形.
【例2】已知方程x2+y2-2(m+3)x+2·(1-4m2)·y+16m4+9=0表示一个圆.
(1)求实数m的取值范围；(2)求该圆半径r的取值范围；(3)求圆心
的轨迹方程.
【解析】 (1)方程表示圆的充要条件是D2+E2-4F>0，即：4(m+3)2+4(1-4m2)2-4(16m4+9)>0，解之得- （3）直线与圆的位置关系——由心线距确定判断直线与圆的位置关系有两种方法： ① 几何法：利用圆心到直线的距离d与半径r的大小判断 ② 代数法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，利用判别式“Δ”进行判断： 【例3】 若圆上至少有三个不同的点到直线l:ax+by=0的距离为2,求直线l的倾斜角的取值范围. 【解析1】 圆（x-2）2+（y-2）2=18的圆心为A（2，2），半径为r= .当A到l的距离d=时，圆上恰有三个点到l的距离为2； 当d<时，圆上有四点到直线l的距离为2；当d>时，圆上有两点到l的距离为2. 如右图，当d=AC=时，OA=2，AOC=30°，∴COx=15°. 在另一极端位置l′时，其倾斜角为75°.∴所求角的范围为[15°，75°] 【解析2】 圆的圆心为（2，2），半径为3. ∵圆上至少有三个不同的点到直线l:ax+by=0的距离为2，∴圆心到直线的距离小于或等于.即，亦即.故∴15° 故所求角的范围为[15°，75°]. 【点评】解析1采用几何法来处理直线与圆的位置关系问题，而解析2是通过代数的方法来处理. （4）圆与圆的位置关系——由心心距和半径长确定 【例4】 已知两圆和，求： （1）m取何值时两圆外切；（2）m取何值时两圆内切，此时 内切线方程是什么？ （3）求m=45时两圆的公共弦长. 【分析】 先将两圆方程变为标准方程，利用外切和内切的条件求m的值，特别是两圆内切时，还应分析两圆半径大小关系再准确求解.【解析】 (1)两圆的标准方程分别为： 圆心分别为M（1，3），N（5，6），半径分别为和.当两圆外切时，解得. (2)当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆圆心距离5，故只有解得又∵∴两圆公切线的斜率为.设所求公切线方程为 解得易验证当时，直线与后一圆相交. 故所求公切线方程为，即 （3）当m=45时，两圆公共弦所在直线方程为4x+3y-23=0.由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为. 【点评】 当两圆内含、内切、相交、外切、外离时，它们的公切线条数分别为0、1、2、3、4. 特别地，当两圆外离求其公切线方程时，可根据两直角三角形相似或定比分点公式求解. ● 通法 特法 妙法（1）转移法——化未知为已知 若已知动点P1（α ,β）在曲线C1：f1（x,y）=0上移动，动点P（x,y）依动点P1而动，它满足关系： ① 则关于α 、β反解方程组①，得 ② 代入曲线方程f1（x,y）=0，即可求得动点P的轨迹方程C：f（x,y） =0. 【例5】已知点A(3，0)，点P在圆x２+y２=1的上半圆周上，∠AOP的平分线交PA于Q，求点Q 的轨迹方程. 【法一】如图所示，设P(x0，y0)(y0>0)，Q(x，y). ∵OQ为∠AOP的平分线，∴， ∴Q分PA的比为.∴ 又因＝１，且y0>0，∴.∴Q的轨迹方程为. 【法二】 设∠AOP=α，α∈(0，π)，则P(cosα，sinα)，∠AOQ=，则OQ直线方程为y=x·tan=kx ①kPA＝∴直线PA方程为y=(x－3) ② 由Q满足①②且k=tan.由②得y=.消去k有y=∴x2+y2－，由图知y>0.故所求Q点轨迹方程为x2＋y2－x=0(y>0). 【点评】上述两种方程为求轨迹的基本方法：相关点及参数法.（2）待定系数法——把方程（组）带进几何 当已知动点的轨迹是所学过的曲线方程时，则可设出含有待定系数的方程，再根据动点满足的条件，确定待定系数，从而求得动点的轨迹方程. 本思路是：先定性，再定型，最后定量. 【例6】求经过两圆x2＋y2＋6x－4=0和x2＋y2＋6y－28=0的交点，并且圆心在直线x－y－4=0上的圆的方程.【法一】 解方程组 得 或 ∴两圆交点为(－1，3)，(－6，－2). 设所求圆方程为：x2＋y2＋dx＋ey＋f =0 ∴所求圆方程为：x2＋y2－x＋7y－32=0 .【法二】 解方程组 得 或 ∴两圆交点为(－1，3)，(－6，－2). 设所求圆方程为：(x－a)2＋(y－b)2=r2 ∴所求圆方程为：x2＋y2－x＋7y－32=0.【法三】设所求圆方程为： x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2+6y－28)=0 即： ∴圆心为 又∵圆心在直线x－y－4=0上 ∴ ∴λ=－7 ∴所求圆方程为：x2＋y2－x＋7y－32=0 （3）几何法——与向量或三角沟通 直线被圆截得的弦长计算，运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦半径及半径构成直角三角形计算，此公式是 半径2=弦心距2+半弦长2. 【例7】 在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，－3）为△OAB的直角 顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零. （1）求向量的坐标； （2）求圆关于直线OB对称的圆的方程； 【解析】 （1）设得 所以v－3>0,得v=8,故={6，8}. （2）由={10，5}，得B（10，5），于是直线OB方程： 由条件可知圆的标准方程为：(x－3)2+y(y+1)2=10, 得圆心（3，－1），半径为.设圆心（3，－1）关于直线OB的对称点为（x ,y）则 故所求圆的方程为(x－1)2+(y－3)2=10.（4）参数法——与函数或不等式接轨 当动点P（x,y）直接找不出坐标x,y之间的关系时，可设动点P（x,y）满足关于参数t的方程 （t是参数） ③ 则由方程组③消去参数t，即求得动点P(x,y)的普通方程：f(x,y)=0.【例8】点P（x，y）在圆C：x2+y2-2x-2y+1=0上运动，点A（2，2），B（2，-2）是平面上两点，求的最值.【解析】∵ ∴= 设x2+y2+4x=k，即（x+2）2+y2=4+k，视为以K（-2，0）为圆心，为半径. (问题转化为求半径的取值范围) ∵x、y在圆上运动，而点K（-2，0）在圆C外，又两圆心距为 当圆K与圆C内切时取最大值，最大值为+1，此时k=（+1）2-4=7+2.当圆K与圆C外切时取最小值，此时有+1=，即x2+y2+4x的最大值为7+2，最小值为习题精选精讲圆标准方程 已知圆心和半径，即得圆的标准方程；已知圆的标准方程，即得圆心和半径，进而可解得与圆有关的任何问题. 一、求圆的方程 例1 (06重庆卷文) 以点为圆心且与直线相切的圆的方程为( )(A) (B)(C) (D) 解 已知圆心为，且由题意知线心距等于圆半径，即 ，∴所求的圆方程为，故选(C). 点评：一般先求得圆心和半径，再代入圆的标准方程即得圆的方程. 二、位置关系问题 例2 (06安徽卷文) 直线与圆没有公共点，则的取值范围是( )(A) (B)(C) (D) 解 化为标准方程，即得圆心和半径. ∵直线与已知圆没有公共点，∴线心距，平方去分母得，解得，注意到，∴，故选(A). 点评：一般通过比较线心距与圆半径的大小来处理直线与圆的位置关系：线圆相离；线圆相切；线圆相交. 三、切线问题 例3 (06重庆卷理) 过坐标原点且与圆相切的直线方程为( )(A)或 (B)或(C)或 (D)或 解 化为标准方程,即得圆心和半径. 设过坐标原点的切线方程为，即，∴线心距，平方去分母得，解得 或，∴所求的切线方程为或，故选(A). 点评：一般通过线心距与圆半径相等和待定系数法，或切线垂直于经过切点的半径来处理切线问题. 四、弦长问题 例4 (06天津卷理) 设直线与圆相交于两点，且弦的长为，则 .解 由已知圆，即得圆心和半径.∵线心距，且，∴，即，解得. 点评：一般在线心距、弦长的一半和圆半径所组成的直角三角形中处理弦长问题：. 五、夹角问题 例5 (06全国卷一文) 从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( ) (A) (B) (C) (D) 0 解 已知圆化为，即得圆心和半径. 设由向这个圆作的两条切线的夹角为，则在切线长、半径和构成的直角三角形中，，∴，故选(B). 点评：处理两切线夹角问题的方法是：先在切线长、半径和所构成的直角三角形中求得的三角函数值，再用二倍角公式解决夹角问题. 六、圆心角问题 例6 (06全国卷二) 过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率 . 解 由已知圆，即得圆心和半径. 设，则；∵直线时弦最短，从而劣弧所对的圆心角最小，∴直线的斜率. 点评：一般利用圆心角及其所对的弧或弦的关系处理圆心角问题：在同圆中，若圆心角最小则其所对的弧长与弦长也最短，若弧长与弦长最短则所对的圆心角也最小. 七、最值问题 例7 (06湖南卷文) 圆上的点到直线 的最大距离与最小距离的差是( ) (A) 30 (B) 18 (C) (D) 解 已知圆化为，即得圆心和半径. 设线心距为，则圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为，∴，故选(C). 点评：圆上一点到某直线距离的最值问题一般转化为线心距与圆半径的关系解决：圆上的点到该直线的最大距离为，最小距离为. 八、综合问题 例8 (06湖南卷理) 若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的倾斜角的取值范围是( ) (A) (B) (C) (D) 解 已知圆化为，即得圆心和半径. ∵圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，∴，即，由直线的斜率代入得，解得，又，，∴直线的倾斜角的取值范围是，故选(B). 点评：处理与圆有关的任何问题总是先通过圆的标准方程，进而以“圆心半径线心距”的七字歌得到正确而迅速地解决.经过两已知圆的交点的圆系 例求经过两已知圆：和的交点且圆心的横坐标为3的圆的方1． 程。 解： 设经过两已知圆交点的圆系的方程为： （-1） 其圆心的横坐标为： ，令 =3 得 ∴ 所求圆的方程为：即 例2． 设圆方程为： 其中－4 求证： 不论为何值，所给圆必经过两个定点。 证明： 把所给方程写为： 这是经过以下两个圆的交点的圆系的方程： 所以，不论为何值，所给圆必经过这两个圆的两个交点轴对称 轴对称是解析几何的一个重要内容，利用它不仅可以解决点、线、曲线等关于直线的对称问题，而且还可以解决诸如最值、光线反射、角平分线等问题，并且常得到意想不到的效果。本文将以数例来谈谈它的应用。 例1、已知点A(4,1)，B(0,4)，在直线L：y=3x-1上找一点P，求使|PA|-|PB|最大时P的坐标。 分析：本题的常规方法是：（1）设点（2）列出相应的函数关系式（3）求解。 但本题若这样做，则就会走入死胡同。若巧妙利用轴对称的知识则可以轻松解决。 解：如图，设点C(x,y)是点B关于直线L的对称点，则由，得：，∴直线BC的方程为：，将其与直线y=3x-1联立，解得：D,其中D为BC中点，利用中点坐标公式，得C（3,3）。 显然：|PA|-|PB|＝|PA|-|PC|≤|AC|,当且仅当A、C、P三点共线 时，|PA|-|PB|最大。可求得：直线AC方程为：，与L方程联立解得P的坐标为（2,5）。 例2、光线由点C（3，3）出发射到直线L：y=3x-1上，已知其被直线L反射后经过点A(4,1)，求反射光线方程。 解：设点B是点C关于L的对称点，则由光线反射的知识易知：点B在反射光线上，故所求的反射光线的方程即为直线AB所在的直线方程。由例1知点C关于L的对称点为B（0,4）， 故直线AB的方程易求得为：。它即为反射光线方程。 例3、已知ΔABC的顶点A的坐标为(1,4)，∠B、∠C的平分线的分别方程为和，求BC所在的直线方程。 分析：本题的常规思路是利用L1到L2的角的有关知识解决问题，但较繁，若能注意到角平分线的有关性质，则可简捷求解。 解：设∠B、∠C的平分线分别为L1、L2,则由角平分线的知识可知：AB与CB关于L1对称，AC与BC关于L2对称，故点A关于L1、L2的对称点A1、A2都应该在直线BC上，故BC所在的直线方程即为A1A2所在的直线方程。利用对称性可求得：（过程略）于是BC方程可求得为：直线和圆 1．自点（－3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射线所在直线与圆相切，求光线L所在直线方程． 解：已知圆的标准方程是(x－2)2＋(y－2)2＝1，它关于x轴的对称圆的方程是(x－2)2＋(y＋2)2＝1。 设光线L所在直线方程是：y－3＝k(x＋3)。 由题设知对称圆的圆心C′（2，－2）到这条直线的距离等于1，即．整理得 解得．故所求的直线方程是，或，即3x＋4y－3＝0，或4x＋3y＋3＝0． 2．已知圆C：，是否存在斜率为1的直线L，使以L被圆C截得的弦AB为 直径的圆过原点，若存在求出直线L的方程，若不存在说明理由．（14分） ．解：圆C化成标准方程为: 假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b） 由于CM⊥L，∴kCMkL=－1 ∴kCM=，即a+b+1=0，得b= －a－1 ① 直线L的方程为y－b=x－－，即x－y+b－a=0 ∴ CM=∵以AB为直 径的圆M过原点，∴ ， ∴ ② 把①代入②得 ，∴ 当此时直线L的方程为：x－y－4=0；当此时直线L的方程为：x－y+1=0 故这样的直线L是存在的，方程为x－y－4=0 或x－y+1=0． 3．（12分）求过点P（6，－4）且被圆截得长为的弦所在的直线方程．解：设弦所在的直线方程为，即① 则圆心（0，0）到此直线的距离为． 因为圆的半弦长、半径、弦心距恰好构成Rt△，所以． 由此解得或． 代入①得切线方程或，即或． 4．（12分）已知圆C:及直线. （1）证明:不论取什么实数,直线与圆C恒相交； （2）求直线与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线的方程．．解:(1)直线方程,可以改写为,所以直线必经过直线的交点.由方程组解得 即两直线的交点为A 又因为点与圆心的距离,所以该点在内,故不论取什么实数,直线与圆C恒相交. (2)连接,过作的垂线,此时的直线与圆相交于、.为直线被圆所截得的最短 弦长.此时,.即最短弦长为. 又直线的斜率,所以直线的斜率为2.此时直线方程为: 5（12分）已知圆x2+y2+x－6y+m=0和直线x+2y－3=0交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆恰过坐标原点，求实数m的值． 解：由 又OP⊥OQ， ∴x1x2+y1y2=0,而x1x2=9－6(y1+y2)+4y1y2=∴ 解得m=3. 6.已知圆C：(x+4)2+y2=4和点A(-2，0)，圆D的圆心在y轴上移动，且恒与圆C外切，设圆D与y 轴交于点M、N. ∠MAN是否为定值？若为定值，求出∠MAN的弧度数；若不为定值，说明理由.【解】设圆D的方程为那么 因为圆D与圆C外切, 所以 又直线的斜率分别为 为定值 7．（14分）已知圆和直线交于P、Q两点，且OP⊥OQ （O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径长．解：将代入方程，得． 设P，Q，则满足条件：．∵ OP⊥OQ, ∴而，，∴． ∴，此时Δ，圆心坐标为（－，3），半径． 8．（14分）求圆心在直线上，且过两圆，交点的圆的方程． 解法一：（利用圆心到两交点的距离相等求圆心）将两圆的方程联立得方程组 ，解这个方程组求得两圆的交点坐标A（－4，0），B（0，2）．因所求圆心在直线上，故设所求圆心坐标为，则它到上面的两上交点 （－4，0）和（0，2）的距离相等，故有，即，∴，，从而圆心坐标是（－3，3）．又， 故所求圆的方程为． 解法二：（利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程） 同解法一求得两交点坐标A（－4，0），B（0，2），弦AB的中垂线为， 它与直线交点（－3，3）就是圆心，又半径， 故所求圆的方程为． 解法三：（用待定系数法求圆的方程） 同解法一求得两交点坐标为A（－4，0），B（0，2）． 设所求圆的方程为，因两点在此圆上，且圆心在上，所以得方程组 ，解之得，故所求圆的方程为． 解法四：（用“圆系”方法求圆的方程．过后想想为什么？）设所求圆的方程为， 即 ． 可知圆心坐标为． 因圆心在直线上，所以，解得． 将代入所设方程并化简，求圆的方程 9．(12分) 已知一个圆截y轴所得的弦为2，被x轴分成的两段弧长的比为3∶１．（1）设圆心为（a，b），求实数a，b满足的关系式；（2）当圆心到直线l：x－2y＝0的距离最小时，求圆的方程． ⑴设圆心P（a，b），半径为r，则 |b|＝，2b2＝r2．又|a|2＋1＝r2，所以a2＋1＝r2，所以2b2＝a2＋1； (2)点P到直线x－2y＝0的距离d＝，5d2＝a2－4ab＋4b2≥a2＋4b2－2（a2＋b2）＝2b2－a2＝1．所以所以 或 所以（x－1）2＋（y－1）2＝2或（x＋1）2＋（y＋1）2＝2．10 已知圆C与圆相外切，并且与直线相切于点，求圆C的方程 设圆C的圆心为，则所以圆C的方程为 11.（1997全国文，25）已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l：x－2y=0的距离为，求该圆的方程. .解：设圆的方程为（x－a）2+（y－b）2=r2.令x=0，得y2－2by+b2+a2－r2=0. |y1－y2|==2，得r2=a2+1 ①令y=0，得x2－2ax+a2+b2－r2=0，|x1－x2|=，得r2=2b2 ②由①、②，得2b2－a2=1 又因为P（a，b）到直线x－2y=0的距离为，得d=，即a－2b=±1.综上可得或解得或于是r2=2b2=2. 所求圆的方程为（x+1）2+（y+1）2=2或（x－1）2+（y－1）2=2. 12.（1997全国理，25）设圆满足：（1）截y轴所得弦长为2；（2）被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程. .解：设所求圆的圆心为P（a，b），半径为r，则P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|. 由题设圆P截x轴所得劣弧所对圆心角为90°，圆P截x轴所得弦长为r，故r2＝2b2， 又圆P截y轴所得弦长为2，所以有r2＝a2＋1，从而有2b2－a2＝1又点P（a，b）到直线x－2y=0距离为d＝， 所以5d2＝|a－2b|2＝a2＋4b2－4ab≥a2＋4b2－2（a2＋b2）＝2b2－a2＝1 当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2＝1，从而d取得最小值，由此有 解方程得或 由于r2＝2b2，知r＝， 于是所求圆的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝2或（x＋1）2＋（y＋1）2＝2 13.（2002北京文，16）圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y＋8＝0距离的最小值为 ．.答案：2 解析：圆心到直线的距离d＝＝3∴动点Q到直线距离的最小值为d－r＝3－1＝2圆的方程例析 . 求圆心坐标和半径 【例1】 求下列各圆的圆心坐标和半径: （1）x2+y2－x=0；（2）x2+y2+2ax=0（a≠0）；（3）x2+y2+2ay－1=0. 【思考与分析】 我们先配方得标准方程，然后写出圆心坐标及半径.解： （1）配方 ∴ 圆心为半径为r= . （2）配方得（x+a）2+y2=a2， ∴ 圆心为（-a，0），半径为r=（注意：这里字母a不知道正负，而半径为正值，所以要加绝对值）. （3）配方得x2+（y+a）2=1+a2， ∴ 圆心为（0，-a），半径为r= 【拓展】 讨论方程x2+y2+2ay+1=0（a∈R）表示曲线的形状. 解： 配方得x2+（y+a）2=a2-1， 当a<-1或a>1时，此方程表示的曲线是圆心为（0，-a），半径为r= 的圆； 当a=±1时，此方程表示的曲线是一个点，坐标为（0，-a）； 当-1 【例2】 已知一个圆经过两点A（2，－3）和B（－2，－5），且圆心在直线l：x－2y－3＝0上，求此圆的方程. 【思考与分析】 求圆的方程，需要确定圆心和半径，我们可以先设定圆心的坐标，再利用它到A、B两点的距离相等来确定，从而求得圆的方程. 解： 设点C为圆心，∵ 点C在直线l：x－2y－3＝0上， ∴ 可设点C的坐标为（2a＋3，a）. 又∵ 该圆经过A、B两点，∴|CA|=|CB|. 解得a＝－2， ∴ 圆心坐标为C（－1，－2），半径r＝ . 故所求圆的方程为（x＋1）2＋（y＋2）2=10. 3. 求圆的一般方程 【例3】 △ABC的三个顶点坐标分别为A（－1，5）、B（－2，－2）、C（5，5），求其外接圆的方程. 【思考与分析】 本题与圆心坐标和半径没有关系，我们选用圆的一般式方程即可.三角形的三个顶点都在其外接圆上，所以可以联立方程组，从而求得圆的方程. 解： 设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意得方程组 解得D＝－4，E＝－2，F＝-20. ∴ △ABC的外接圆方程为x2＋y2－4x－2y-20=0. 【小结】 通过这部分知识的学习，我们要掌握圆的标准方程，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，从圆的标准方程熟练地求出它的圆心和半径；掌握圆的一般方程及圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径如何确定圆的方程 已知两点P1（4，9）、P2（6，3），求以P1P2为直径的圆的方程. 【思考与分析】 根据已知条件，我们需要求出圆的圆心位置，又由点P1P2的坐标已知，且P1P2为所求圆的直径，所以圆的半径很容易求出，这是常规的解法，如下面解法1所示，另外还有一些其它的解法，我们大家一起来欣赏： 解法1：设圆心为C（a，b）、半径为r. 由中点坐标公式，得 a＝＝5，b＝ ＝6. ∴ C（5，6），再由两点间距离公式，得 ∴ 所求的圆的方程为（x－5）2＋（y－6）2＝10. 解法2：设P（x，y）是圆上任意一点，且圆的直径的两端点为P1（4，9）、P2（6，3）， ∴ 圆的方程为（x－4）（x－6）＋（y－9）（y－3）＝0， 化简得 （x－5）2＋（y－6）2＝10，即为所求. 解法3：设P（x，y）是圆上任意一点. 由圆的性质有三角形PP1P2为直角三角形， ∴（x－4）2＋（y－9）2＋（x－6）2＋（y－3）2＝（4－6）2＋（9－3）2， 化简得 x2＋y2－10x－12y＋51＝0. ∴ （x－5）2＋（y－6）2＝10，即为所求的圆的方程. 解法4：设P（x，y）是圆上不同于P1、P2的任意一点. ∵ 直径上的圆周角为直角， ∴ PP1⊥PP2. （1）当PP1、PP2的斜率都存在时， （2）当PP1、PP2的斜率有一个不存在时，PP1、PP2的方程为x＝4或x＝6，这时点P的坐标是（4，3）或（6，9），均满足方程（*）. 又P1（4，9）、P2（6，3）也满足方程（*）， 所以，所求圆的方程为 （x－5）2＋（y－6）2＝10. 【小结】 本题我们分别采用了4种解法求解，其中解法2技巧性最强；解法3主要是运用了“圆中直径所对的圆周角是90°”这一结论；解法4是通过直线的斜率来求.不同的方法极大地开阔了我们的思路圆的切线方程 在直线与圆的位置关系中，求过定点的圆的切线方程问题是一类很重要的题型.我们都知道有这样的结论：过圆x2＋y2＝r2上一点A（x0，y0）的切线方程为xx0＋yy0＝r2，那么你知道在运用这个结论的时候要注意些什么吗？ 【例题】 求过点A（2，1）向圆x2＋y2＝4所引的切线方程. 解法一：设切点为B（x0，y0），则x02＋y02＝4， 过B点的切线方程为x0x＋y0y＝4. 又点A（2，1）在切线上，∴ 2x0＋y0＝4. 将x0，y0的值代入方程x0x＋y0y＝4得所求切线方程为x＝2或3x＋4y－10＝0. 解法二： 设切线方程为y－1＝k（x－2），即kx－y－2k＋1＝0.∵圆心（0，0）到切线的距离是2， ∴＝2，解得k＝－.∴ 所求切线方程为－x－y＋ ＋1＝0，即3x＋4y－10＝0. 当过点A的直线的斜率不存在时，方程为x＝2，也满足条件.故所求圆的切线方程为3x＋4y－10＝0或x＝2. 解法三： 设切线方程为y－1＝k（x－2）与方程x2＋y2＝4联立，消去y，整理得（k2＋1）x2－2k（2k－1）x+4k2－4k－3＝0. ∵ 直线与圆相切，上述方程只能有一个解，即Δ＝0，即[2k（2k－1）]2－4×（k2＋1）（4k2－4k－3）＝0，解得k＝－. ∴ 所求切线方程为y－1＝－ （x－2），即3x＋4y－10＝0. 又过点A（2，1）与x轴垂直的直线x＝2也与圆相切. 故圆的切线方程为3x＋4y－10＝0或x＝2. 【小结】 求过定点的圆的切线问题，应首先判断该点是否在圆上，若点在圆x2＋y2＝r2上，则可直接用公式xx0＋yy0＝r2（A（x0，y0）为切点），类似的可以求出过圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2上一点A（x0，y0）的切线方程为（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y－b）＝r2；若点在圆外，则所求切线必有两条，此时可设切线方程，用待定系数法求斜率k.如果关于k的方程只有一个解，则另一条切线的斜率必不存在，应该将该直线补上. 【警示】 大家做题的时候必须按照我们所讲的认真求解，稍有马虎就可能造成一些不必要的错误.就本题而言，可能出现的错解1：由过圆x2＋y2＝r2上一点A（x0，y0）的切线方程为xx0＋yy0＝r2.从而直接得出切线方程为2x＋y＝4.出现错误的原因是凭直观经验，误认为点A（2，1）在圆上；错解2：设切线方程为y－1＝k（x－2），即kx－y－2k＋1＝0，由圆心（0，0）到切线的距离是2得，＝2，解得k＝－，故所求切线方程为－x－y＋ ＋1＝0即3x＋4y－10＝0.这里出现错误的原因主要是考虑问题不周全， 漏掉了直线斜率不存 例题】 求半径为4，与圆x2＋y2－4x－2y－4＝0相切，且和直线y＝0相切的圆的方程． 错解1：由题设，所求圆与直线y＝0相切且半径为r=4，则设所求圆的圆心为（a，4）.又已知圆的方程化为标准式为：（x－2）2＋（y－1）2＝9，其圆心（2，1），半径R＝3． （1）若两圆外切，则圆心距＝r＋R＝4＋3＝7．即（a-2）2+（4-1）2=72，得a=2±2，∴ 所求圆方程为：（x-2-2）2+（y-4）2=16或（x-2+2 ）2+（y-4）2=16. （2）若两圆内切，则圆心距＝|Ｒ-r|＝4－3＝1．∴ （a－2）2＋（4－1）2＝1，这个方程无解． 故讨论（1）中，两个方程均是所求圆的方程． 错解2：由题设，所求圆与直线y＝0相切且半径为r=4，则设所求圆的圆心为（a，±4）. 又已知圆的方程化为标准式为：（x－2）2＋（y－1）2＝9，其圆心（2，1），半径R＝3． 由于两圆相切，则圆心距＝r＋R＝4＋3＝7．即（a-2）2+（4-1）2=72，得a=2±2 ， 或（a-2）2+（-4-1）2=72，得a=2±2. ∴ 所求圆方程为：（x-2-2）2+（y-4）2=16或（x-2+2）2+（y-4）2=16.或（x-2-2）2+（y＋4）2=16 或（x-2+2 ）2+（y＋4）2=16. 【误区剖析】 本题容易出错的有两个地方：其一是只考虑了所求 圆的圆心在x轴（y＝0）上方，疏忽了圆心在直线y＝0下方的可能，遗下了漏解的隐患，如错解1．其二，只考虑了两圆外切，没有考虑两圆内切的情况，解题是不严密的，如错解2．因此在审题、解题时，一定要全面、细致地分析研究，努力克服粗心大意、主观片面． 正解：由题设，所求圆与直线y＝0相切且半径为r=4，则设所求圆的圆心为（a，±4）. 又已知圆的方程化为标准式为： （x－2）2＋（y－1）2＝9，其圆心（2，1），半径R＝3． （1）若两圆外切，则圆心距＝r＋R＝4＋3＝7．即（a-2）2+（4-1）2=72，得a=2±2 ，或（a-2）2+（-4-1）2=72，得a=2±2. ∴ 所求圆方程为：（x-2-2）2+（y-4）2=16或（x-2+2）2+（y-4）2=16. 或（x-2-2）2+（y＋4）2=16. 或（x-2+2 ）2+（y＋4）2=16. （2）若两圆内切，则圆心距＝R-r＝4－3＝1．∴ （a－2）2＋（4－1）2＝1，或（a－2）2＋（－4－1）2＝1，这两个方程都无解．故讨论（1）中，4个方程均是所求圆的方程正确判断两圆的位置关系 已知两圆C1：x2＋y2＋4x＋4y－2＝0，C2：x2＋y2－2x－8y－8＝0，判断圆C1与圆C2的位置关系. 【思考与分析】 要判断两圆的位置关系，我们通常有两种方法：一种是判断两圆的交点个数，如果它们有两个交点，则相交；有一个交点则外切或内切；没有交点则相离或内含.另一种是通过两圆连心线的长与两半径的和或两半径差的绝对值的大小关系，来判断两圆的位置关系. 解法一： 将两圆的方程联立得， 由（1）－（2）得x＋2y＋1＝0 （3） 由（3）得x＝－2y－1，把此式代入（1）， 并整理得y2－1＝0 （4） 方程（4）的判别式Δ＝02－4×1×（－1）＝4＞0， 所以，方程（4）有两个不同的实数根y1，y2，把y1，y2分别代入方程（3），得到x1，x2. 因此圆C1与圆C2有两个不同的交点，即两圆是相交的位置关系. 解法二： 把圆C1的方程化为标准方程形式为（x＋2）2＋（y＋2）2＝10，圆C1的圆心坐标为（－2，－2），半径长r1＝ . 把圆C2的方程化为标准方程形式为（x－1）2＋（y－4）2＝25.圆C2的圆心坐标为（1，4），半径长r2＝5.圆C1和圆C2的连心线的长为： 圆C1与圆C2的两半径之和是r1＋r2＝5＋，两半径之差r2－r1＝5－. 而5－＜3＜5＋.即r2－r1＜3 ＜r1+r2. 【小结】 在解法1中，我们只要判断出圆C1与圆C2有几个公共点即可，不需要求出公共点的具体坐标，也就是说只需要判断出方程（4）的判别式大于0，而不需要求解方程 直线与圆的位置关系解析 【例1】 如果曲线C：x2+（y+1）2=1与直线x+y+a=0有公共点，那么实数a的取值范围是 ． 【思考与分析】 通过直线与圆的位置关系来求其中所含参数的取值范围，下面我们分别从代数和几何两个方面来求. 解法一：（代数法）由 消去y得2x2+2（a-1）x+a2-2a=0， 由Δ=4（a-1）2-8（a2-2a）≥0，即（a－1）2≤2得1-≤a≤1+ . ∴ 实数a的取值范围是1-≤a≤1+ . 解法二：（几何法）圆C与直线x+y+a=0有公共点，圆心（0，－1）到直线的距离不大于半径， ∴实数a的取值范围是1-≤a≤1+ . 【小结】 直线与圆的位置关系的判定方法有：①代数法：利用二次方程的判别式判断；②几何法：依据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断. 【例2】 直线2x－y＋1＝0与圆O∶x2+y2+2x-6y-26=0的位置关系是（ ）. A． 相切 B． 相交且过圆心 C． 相离 D． 相交不过圆心 【解析】 要想确定一条直线与圆的位置关系，我们需要得出圆心到直线的距离与圆半径的大小关系.所以将圆的方程化为标准形式为：圆O∶（x+1）2+（y-3）2=36.圆心为（－1，3），半径为r＝6， 圆心到直线的距离为d＝ 从而知0＜d＜r，所以直线与圆相交但不过圆心. 故正确答案为D 求圆的切线方程的几种方法 在高中数学人教版第二册第七章《圆的方程》一节中有一例题：求过已知圆上一点的切线方程，除了用斜率和向量的方法之外还有几种方法，现将这些方法归纳整理，以供参考。 例：已知圆的方程是x2 + y2 = r2，求经过圆上一点M(x0，y0)的切线的方程。 解法一：利用斜率求解 解法二：利用向量求解图1 （这种方法的优点在于不用考虑直线的斜率存不存在）图2 解法三：利用几何特征求解 解法四：用待定系数法求解 1、 利用点到直线的距离求解 2、 利用直线与圆的位置关系求解： 这是圆心在坐标原点的圆的切线方程的求法，若圆心不在原点，也可以用这些方法求解。 同样一道题，思路不同，方法不同，难易程度不同。显然在以上的几种解法中，用向量法和几何特征求解相对来说简单一些。实际上在圆这一章，很多时候用几何特征求解圆的方程和直线方程是教简单的方法，同学们下来可以尝试。 巧构思 妙解题 解题不可只是下苦功夫，要动点脑筋、施点小计，才能使题目得以迎刃而解。本文就直线与圆的问题举数例说明。 例1. 已知两点，点C是圆上的任意一点，则的面积最小值是_________. 分析：容易先想到假设点C的坐标，求点C到直线AB的距离，然后将三角形面积化成函数来求最小值。想法当然不错，但繁而不巧，仔细想一想，便可知AB的长为定值。只需点C到直线AB的距离最小，即圆心到直线AB的距离与半径的差，这样可以轻松求出答案为： 例2. 过点和，圆心在直线上的圆的方程为_________. 分析：若先假设圆的方程，再根据已知条件求出圆的方程，此法可 行，但运算不简单，实际上，圆心除了在已知直线上，还在线段AB的垂直平分线上，容易求出圆心是（0，0），圆的方程即： 例3. 已知直线：与圆C：，设d是圆C上的点到直线的距离，且圆C上有两点使取得最大值，则此时_______，______. 分析：只有直线过圆心时，圆上才能有两个点同时到此直线的距离最大，其距离即半径。这样将圆心坐标代入直线的方程即可求得，所以圆半径即所求的 例4. 直线与圆的位置关系是_________. 分析：直线过定点，此点在圆上，过圆上一点的直线与圆有一个或两个交点，故应该填：相交或相切。 例5. 在直角坐标系中，射线OA，OB的方程是，。动点P在内部，且点P到两边的距离的平方差的绝对值等于1，则动点P的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 分析：由两条射线关于轴对称知，所求轨迹一定也是关于轴对称的，且在两射线之间，又与射线无公共点，即有限制条件，且不能带等号，故选C。 例6. 圆的斜率为的切线方程是（ ） A. B. C. 或 D. 不能确定。 分析：由直线与圆的位置关系可知，一定有两条斜率都为的平行直线与圆相切，故选C。 例7. 圆与轴交于A、B两点，与轴的一个交点为P，则等于（ ） A. B. C. D. 分析：实际上是弦AB所对的圆周角，等于弦AB所对圆心角的一半，可求出弦AB的长等于半径，所以弦AB所对的圆心角为，故选A。 例8. 过点作圆的切线，求切点弦所在直线的方程。 分析：切点弦就是两个圆的交点弦，而以线段OP为直径的圆的方程是： ， 把它与已知圆方程相减便得所求： 例9. 已知是圆C：上的任意一点，求的最大值与最小值。 分析：设P点的坐标为，则 ， 但到此，要知道利用的几何意义，从而无从下手，实际上表示坐标原点O到圆上的点P的距离，而 （R为圆C的半径）， 即 ， 所以的最大值是100，最小值是20。本题也可利用圆的参数方程来解。 高三期末(11套)数学试卷分类汇编——直线与圆 19．已知圆：，设点是直线：上的两点，它们的横坐标分别是，点在线段上，过点作圆的切线，切点为．（1）若，，求直线的方程； （2）经过三点的圆的圆心是，求线段长的最小值． 解：（1）设解得或（舍去）.由题意知切线PA的斜率存在，设斜率为k.所以直线PA的方程为，即直线PA与圆M相切，，解得或直线PA的方程是或 （2）设与圆M相切于点A， 经过三点的圆的圆心D是线段MP的中点.的坐标是设当，即时，当，即时，当，即时则. 17．已知直线l的方程为，且直线l与x轴交于点M，圆与x轴交于两点（如图）． （I）过M点的直线交圆于两点，且圆孤恰为圆周的，求直线的方程；（II）求以l为准线，中心在原点，且与圆O恰有两个公共点的椭圆方程； （III）过M点的圆的切线交（II）中的一个椭圆于两点，其中两点在x轴上方，求线段CD的长．ABOMPQyxll1 17．（I）为圆周的点到直线的距离为设的方程为的方程为 （II）设椭圆方程为，半焦距为c，则椭圆与圆O恰有两个不同的公共点，则或 当时，所求椭圆方程为；当时，所求椭圆方程为 （III）设切点为N，则由题意得，椭圆方程为在中，，则，的方程为，代入椭圆中，整理得设，则 15．如图，直角三角形的顶点坐标，直角顶点，顶点在轴上，点为线段的中点 （Ⅰ）求边所在直线方程； （Ⅱ）为直角三角形外接圆的圆心，求圆的方程； （Ⅲ）若动圆过点且与圆内切，求动圆的圆心的轨迹方程． （第15题） 15．（Ⅰ）∵ ∴ ∴ （Ⅱ）在上式中，令得：∴圆心．又∵．∴外接圆的方程为 （Ⅲ）∵∵圆过点，∴是该圆的半径，又∵动圆与圆内切，∴即．∴点的轨迹是以为焦点，长轴长为3的椭圆．∴， ，∴轨迹方程为．11．用一些棱长是1cm的小正方体码放成一个几何体，图1为其俯视图， 图2为其主视图，则这个几何体的体积最多是 ▲ cm3． 图1（俯视图） 图2（主视图） 第11题图 15．（本小题满分14分） 如图，已知圆心坐标为的圆与轴及直线均相切，切点分别为 、，另一圆与圆、轴及直线均相切，切点分别为、．（1）求圆和圆的方程； （2）过点B作直线的平行线，求直线被圆截得的弦的长度． 15．（本小题满分14分） 解：（1）由于⊙M与∠BOA的两边均相切，故M到OA及OB的距离均为⊙M的半径，则M在∠BOA的平分线上，同理，N也在∠BOA的平分线上，即O，M，N三点共线，且OMN为∠BOA的平分线，∵M的坐标为，∴M到轴的距离为1，即⊙M的半径为1，则⊙M的方程为， 设⊙N的半径为，其与轴的的切点为C，连接MA、MC， 由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OM：ON=MA：NC， 即， 则OC=，则⊙N的方程为； （2）由对称性可知，所求的弦长等于过A点直线MN的平行线被⊙截得的弦的长度，此弦的方程是，即：，圆心N到该直线的距离d=，则弦长=．另解：求得B（），再得过B与MN平行的直线方程，圆心N到该直线的距离=，则弦长=． （也可以直接求A点或B点到直线MN的距离，进而求得弦长） 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容