广东省广州市2019届高三3月综合测试(一)理科数学试题(解析版)

2019年广州市普通高中毕业班综台测试（一）

理科数学

2019.3

本试卷共5页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事顶：1.答卷前，考生务必将自己的名和考生号、试室号、座位号填在答题卡上，用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型（A），填涂在答题相应置上。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合Axx2x0，Bx2，则 A.A2xB B.ABR C.BA D.AB

答案：D

考点：集合的运算，一元二次不等式，指数运算。

解析：Ax0x2，Bxx0，所以，D正确。 2. 已知a为实数，若复数ai12i为实数，则a= A.2 B.

11 C.－ D.2 22答案：B

考点：复数的概念与运算。

解析：ai12i＝a2(12a)i为实数，所以，a21 2y2223. 已知双曲线C:x21的一条渐近线过圆P:x2y41的圆心，则C的

b离心率为 A.53 B. C.5 D.3 22答案：C

文科数学试题A 第 1 页 (共8页)

考点：双曲线的性质。

解析：双曲线中，a＝1，的渐近线为：ybx经过圆心为（2，－4），得：b＝2 所以，c＝5，离心率为5 4..刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O，圆O的半径为2，现随机向圆O内段放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二边形内(a,bN,ba)，则圆周率的近似值为



A.

ba3a3b B. C. D. abba答案：C

考点：几何概型。

解析：正十二边形的面积为：12×

122sin3012， 212b3a，选C。 ，4ab5.若等边三角形ABC的边长为1，点M满足CMCB2CA，则MAMB A.3 B.2 C.23 D.3 答案：D

考点：平面向量的三角形法则。

解析：MAMB(MDDA)DC＝(BCAC)2AC＝2ACBC2AC ＝211cos602＝3

2

文科数学试题A 第 2 页 (共8页)

26.设Sn是等差数列an的前n项和，若m为大于1的正整数，且am1amam11，

S2m111，则m

A.11 B.10 C.6 D.5 答案：C

考点：等差数列的性质和前n项和公式。 解析：由S2m111得：

(2m1)(a1a2m1)11 11，即(2m1)am11，即am22m122由am1amam11，得amdamamd1，即2amam1，

2即am2am10，解得：am1，所以，1211，解得：m＝6

2m17.如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T。若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数hft的图象大致是

答案：B

考点：变化率。

解析：水匀速流出，当水面在球心附过时，下降的高度比较缓慢，快流完时，下降的速度最快，图象越陡，所以，选B。 8. 2x3xa的展开式的各项系数和为32，则该展开式中x54的系数是

A.5 B.10 C.15 D.20 答案：A

考点：二项式定理。

解析：依题意，令x＝1，得：(1a)＝32，所以，a1，

14344展开式中x的系数为：2C5xxC5x＝5

5文科数学试题A 第 3 页 (共8页)

9.已知函数fxcosx0,0是奇函数，且在则的最大值是 A.

,上单调递减，43123 B. C. D.2 232答案：C

考点：函数的奇偶性，正弦函数的图象及其性质。 解析：依题意，知fxsinx，由即当

22kx22k，

4k4k时，函数f（x）递减，又在,上单调递减 x22434k28k24学科网，kZ； 所以，，即：36k4k2323； 2（2）当k＞0时，28k，为负数；

3（3）当k＜0时，6k，也是负数，

23所以，的最大值是。

2（1）当k＝0时，10.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为 A.

1315 B.7 C. D.8 22

答案：B

考点：三视图，表面积的计算。

解析：由三视图可知，该几何体是一个圆柱+四分之一球组成。 表面积为：1＋221112＋221＋412＝7 24文科数学试题A 第 4 页 (共8页)

211.已知以F为焦点的抛物线C:y4x上的两点A，B，满足AFFB13，则3弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是 A.2 B.

810 C. D.4 33答案：B

考点：抛物线的定义与性质，平面向量的意义，函数导数及其应用。 解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），依题，得F（1,0），准线x＝－1， AF＝x1＋1，BF＝x2＋1，又AFFB，所以，x1＋1＝（x2＋1）， 设直线AB斜率存在为k，则直线AB为：y＝k（x－1），

y24x1222，得：kx(2k4)xk0，所以，x1•x2＝1，即x1， xyk(x1)2所以，

11＋1＝（x2＋1），化简，得：x2， x2弦AB的中点到C的准线的距离为：

111(|AF||BF|)(|BF||BF|)＝(1)|BF| 222111＝(1)(x21)(1)(1) 2211＝(2)， 211令f()，则f'()12＝0，得：1，

所以，当在（

1，1）时，f'()＜0，f()递减， 3当在（1，3）时，f'()＞0，f()递增，

110f()的最大值为：f(3)f()＝，

33弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是：

1108(2)，选B。 233

文科数学试题A 第 5 页 (共8页)

x21, x112.已知函数fxx的图象上存在关于直线x1对称的不同两点，则实

lnxa, x1数a的取值范围是

A.e21, B.e21, C.,e21 D.,e21 答案：A

考点：分段函数的图象，数形结合法。 解析：当x＞1时，fxx1，画出它的图象，并作它关于直线x＝1对称的图象， x再画出当x＜1时，f(x)ln(xa)的图象，如下图所示：

图象上存在关于直线x1对称的不同两点，等于于函数f(x)ln(xa)与，fxx关于直线x＝1对称的图象有交点，

所以，只需f（1）＝ln(1a)＞2，解得：ae1 选A。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 设Sn是等比数列an的前n项和，若S33，S627，则a1 。 答案：

21x3 7考点：等比数列的前n项和公式。

a1(1q3)3S31q1q3311解析：依题意，得：，即：， ，即6361q271q9Sa1(1q)2761qa1(123)33，解得：a1 解得：q2，所以，

127文科数学试题A 第 6 页 (共8页)

14.若函数fxax3的图象在点1,f1处的切线过点2,4，则a 。 x答案：2

考点：函数的导数及其应用。

解析：f(1)a3，切点为（1，a3），

f'(x)a3，切线的斜率为：k＝a3， x2切线方程为：ya3(a3)(x1)，过眯（2，4）， 所以，4a3(a3)(21)，解得：a2

2xy1015.已知关于x，y的不等式组xm0，表示的平面区域内存在点Px0,y0，满足

y20x02y02，则m的取值范围是 。

答案：(,]

考点：不等式组的解法及其意义。

434y04y010解析：由x02y02得：x02y02，所以，不等式组为：2y02m0，

y2005y0352m52m42m即y0，即y0，所以，，解得：m。

323232y0216.已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都是1，∠ABC＝60°，ACBDO，

AC11B1D1O1，点H在线段OB1上，OH3HB1，点M是线段BD上的动点，则三棱

锥MC1O1H的体积的最小值为 。

答案：

3 48考点：四棱柱的结构特征，三棱锥的体积计算。

解析：三棱锥MC1O1H中，三角形C1O1H的面积为定值，所以，线段BD上的点到平面

文科数学试题A 第 7 页 (共8页)

C1O1H距离最小时，三棱锥MC1O1H的体积最小，

由图可知，当点M在点B处时，M到平面C1O1H距离最小，

依题知，四边形BOO1B1为矩形，设O1B交OB1于E，则点E为OB1的中点， 由OH＝3HB1知，H为EB1的中点，所以，三棱锥MC1O1H的体积最小值为：

所以，三棱锥MC1O1H的体积的最小值为3。 48

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17.(12分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ccosB3abcosC。 （1）求sinC的值；

（2）若c26，ba2，求△ABC的面积。

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18.(12分)

如图，在三棱锥ABCD中，△ABC是等边三角形，∠BAD=∠BCD=90°，点P是 AC的中点，连接BP，DP。 （1）证明:平面ACD平面BDP；

（2）若BD=6，且二面角ABDC为120°，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值。

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19.(12分)

某场以分期付款方式销售某种品，根据以往资料統计，顾客购买该高品选择分期付款的期数的分布列为

 P

2 0.4 3 4 a b 其中0(1)求购买该商品的3位顾客中,恰有2位选择分2期付款的概率；

(2)商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得的利润为200元；若顾客选择分3期付款，则商场获得的利润为250元；若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为300元。商场销售两件该商品所获得的利润记为X(单位:元) （1）求X的分布列；

（2）若P(X≤500)≥0.8,求X的数学期望EX的最大值。

页 (共8页) 文科数学试题A 第 1 0

20.(12分)

x2y222已知椭圆C:221ab0的两个焦点和两个顶点在图O:xy1上。

ab（1）求椭圆C的方程

（2）若点F是C的左焦点,过点P(m,0)(m≥1)作圆O的切线l，l交C于A，B两点。求△ABF的面积的最大值。

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21.(12分)

已知函数fxe2xax2，aR。

（1）若fx在(0,+∞)上单调递增,求a的取值范围； （2）若fx在(0,+∞)上存在极大值M,证明：M

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a。 4

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程](10分) 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为xcostysint2(t为参数)。以坐标原点为极点，x

轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为sinacos（1）写出曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程； （2）若直线C2与曲线C1有两个不同交点，求a的取值范围。

23.[选修4-5：不等式选讲](10分) 已知函数fxxa2x1。

（1）当a=1时，求不等式fx0的解集；

（2）若a>0，不等式fx1对xR都成立，求a的取值范围。

1 aR。

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