流场中的脉动尺度的解析表达

维普资讯 http://www.cqvip.com 第ｌ７卷第１期　金陵职业大学学报　ＪＯＵＲＮＡＩ　ＯＦ　ＮＡＮＪＩＮＧ　ＰＯＩ　ＹＴＥＣＨＮＩＣ　ＣＯ１　Ｉ　ＥＧＥ　Ｖｏ１．１　７．ＮＯ．１　Ｍａｒ．２００２　２００２年３月　流场中的脉动尺度的解析表达　管国永　金忠青　（金陵职大，江苏南京　）　（河海大学．江苏南京　）　摘　要：本文从运动学的角度．分析了脉动速度的构成，建立了随机脉动尺度的微分方程，解析得到了流场中的　脉动尺度的表达式。　关键词：湍流；脉动尺度；脉动速度；遍历假设；雷诺应力　中图分类号：０３５７．５　文献标识码：Ａ　文章编号：１００８—４９３２（２００２）０１—００１２—０４　Ｔｈｅ　Ａｎａｌｙｔｉｃａｌ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｆｌｕｃｔｕａｔｉｎｇ　Ｓｃａｌｅ　ＧＵＡ　Ｎ　Ｇｕｏ—ｙｏｎｇ　Ｊ　Ｉ　Ｎ　Ｚｈｏｎｇ—ｑｉｎｇ２　（１・Ｎａｎｊｉｎｇ　Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｅ　Ｃｏｌｌｅｇｅ　２１０００１，Ｃｈｉｎａ　２．Ｈｏｈａｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｊｉｎｇ　２１００９７）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｋｉｎｅｔｉｃ　ｔｈｅｏｒｙ，ｓｔｕｄｉｅｓ　ｔｈｅ　ｃｏｎｓｔｒｕｅｔｉｏｎ　ｏｆ　ｆｌｕｃｔｕａｔｉｎｇ　ｓｃａ１ｅ，　ａｎｄ　ｐｒｅｓｅｎｔｓ　ｒａｎｄｏｍ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｆｌｕｃｔｕａｔｉｎｇ　ｓｃａｌｅ　ｂｙ　ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｆｌｕｃｔｕａｔｉｎｇ　ｓｃａｌｅ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｔｕｒｂｕｌｅｎｔ　ｆｌｏｗ；ｆｌｕｃｔｕａｔｉｎｇ　ｓｃａｌｅ；ｆｌｕｃｔｕａｔｉｎｇ　ｖｅｌｏｃｉｔｙ；ｅｒｇｏｄｉｃ　ｈｐｏｔｈｅｓｉｓ：ｒｅｙｎｏｌｄｓ　ｓｔｒＰＲＲ　１　引　言　１８８５年０　Ｒｅｙｎｏｌｄｓ把时间平均法引入　Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程得到了雷诺方程。　在直角坐标系中，雷诺方程式具有下述形式　＋　＝２，一吉窆＋ｙ　＋ｃ一　㈩　ｌＤ　一　＋　（　３—ｘｌＤ蕊）＋　（　一ｌ。　）＋耋（　ａ，Ｌ—ｌＤ　）　一　＋　（　・　）＋ｌ。　（　・ｕ—ｙ）＋，，耋（　・　）　一葛＋　ｃ　ＣｇＵｙ—Ｐ　＋　ｃ　一一ＵｔｙＵ—ｔ　ｙ）＋乏ｃ　警～一ＵｔｙＵｔ　ｚ）　一ｌＤ警＋ｌＤ　（　・　）＋ｌ０　（　・　）＋ｌＤ乏（　・　）　一警＋　ｃ　一Ｐ　＋　ｃ　一Ｐ　＋妄ｃ　～　一ｌＤ　＋ｌＤ　（　・　）＋ｌ０　（　・　）＋ｌＤ耋（　・　）　收稿日期：２００１—１０—１５　作者简介：管国永（１９４６一），男，江苏南京市人．副教授；金忠青（１９４５一），男，江苏南京人，教授。　维普资讯 http://www.cqvip.com 第１期　管国永等：流场中的脉动尺度的解析表达　＝　＋　１（　×　）ｃ×　＋　・一Ｅ（３）　湍流被认为是一个平稳的随机过程，在各态历　经的条件下，时平均后，消除了因脉动而引起的不　规则变化，在雷诺方程中只有缓变的时均值，但保　留了湍流场中充分的信息。　然而雷诺方程中增加了雷诺应力项，即　一ｐ　ｕ　．ｕ　ｊ写成矩阵形式是　ｒ—ｌ０　ｌｉｔ　ａ＂“　一ｌ０“　“　一ｌ０　Ｉ　１一ｌ０“　“　一ｌ０“　ｙ“　—ｌ０　ＩＬ————　—ｌ０“　“　一ｌ０“　：“　ｖ　—ｌ０　由于增加了六个雷诺应力，使得雷诺方程组成　为一个不封闭的方程组，即方程式的数目少于未知　数的数目。　图１　为使湍流方程组封闭，湍流理论的中心问题是　建立雷诺应力的物理方程。乞今建立了许多补充关　在各态历经的条件Ｆ　系式，都是针对雷诺应力给出的。　ＶＡ—Ｖｃ＋Ｖ　ｃ　（４）　包辛耐斯克（Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ　Ｊ．）于１８８７年提出紊　式中　ｃ一　１（　×　）ｃ　Ｘ　Ａ—ｒ＋Ａ—ｒ・一Ｅ　动交换系数的概念，仿照粘滞应力去描述雷诺应　力，并将雷诺应力写成　脉动速度Ｖ　ｃ时均值为零，即Ｖ　ｃ一０　一ｌ０　一　（　＋警）一Ｐ＇ｒ８，，（２）　这样我们就把流体中任意毗邻两点的速度关　系改造为时均速度与脉动速度之间的关系。　Ｐ　一÷ｑ。一÷ｕ　ｕ　ｊ。为了确定湍流粘性系数或紊动　可把（３）、（４）两式改写成张量形式　Ｈｉ￣一Ｕｉ＂ｑ－　ｅｍｅ‰　Ｕｍ　交换系数ｅｍ一　，先后提出了普朗特的动量传递　Ｊ＋　Ｊ　理论，泰勒的涡旋传递理论、卡门的相似理论及马　一一Ｕｉ＋　，　卡维耶夫的自振动理论［５］，式（１）也是现在流行的　及　一方程模型式和二方程模式的出发点。上述方法的　“　一一Ｕ共同特点是着重研究时均流速的规律，而没有深入　ｉ＋　（６）　分析湍流的脉动结构。　式中ｅｌｊｈ为Ｒｉｃｃｉ符号。　由于未知的雷诺应力实际上是同一点上脉动　（３）、（４）两式均是同一流体质点在旋转坐标系　流速的二次相关矩，因此，本文舍弃了紊动交换系　和平动坐标系中的速度分解，故应有　数的概念，另辟蹊径，从脉动流速的物理组成出发，　ｕｔ１　ｉ一　一　ｅ　ｅ　ｎ　ｅ　ｅ　ｌＩ　Ｕ　ｓｎ△Ｉｉ　ｉ＋￡ｉｉｉｉ出△Ｉｉｉ　　１　ｌ　试图从运动学的角度，分析脉动尺度，脉动流速，从　而得到雷诺应力的解析表达。　或“，　：　（８）　或　＝－＝　ｏ—ＪＸ　Ａ—ｒ＋Ａ—ｒ・一Ｅ　（９）　２脉动尺度方程　因为　（　）一　一　，　一丢（△矸）　（１ｏ）　考察流场中的任一流体微团。设微团的时均速　度代表点位于质点Ｃ处，而Ａ为该流体质团内任　故有　一专　×　＋　・一Ｅ一　（１１）　一点。　即　一　Ｕｍ　，　Ｖ＾一“＾ｉ＋　＾Ｊ＋训＾ｋ　或甄“，“。，＝　ｆ＝＝：—　一一　一　，　（１２）　按海姆霍兹速度分解定理，将Ｖ　进行分解　至此我们获得了脉动尺度微分方程组（１２）。　维普资讯 http://www.cqvip.com １４　金陵职业大学学报　第１　７卷　该方程组是我们进行系列研究的基础。它按经　满足方程（１２）　典的湍流理论，将流体视为连续介质，将流速、压　强、温度等的脉动值视为连续的随机函数。　当警为常数时，式（１３）可证明如下：如筹　为　微分方程组（１２）还带有随机的初始条件　常数，方程（１０）归结为解齐次线性微分方程组，可　ｔ—ｔ０　△ｒ一△，．０或　。一　０　用幂级数展开求解，对于恒定流。　及边界条件。　设　一固壁处　△ｒ一０或△　．一０　一如　一　一打　一１ｆ　　，　］　一如　一　代入方程（１２）中　塑砂一　　一３　恒定湍流场中的脉动尺度　、一　●●●●●●一　●●●●●●●●　一　●●●、，●●●．●●●●，●●●●●，Ｊ一　一　一　　Ｕ，，●●　●　（、●　【　＝　』展开方程组（１２）　、●●●　●●Ｉ、，●●●Ｊ　ｄ（Ａｒ　警　ａ“　ａ“　ａ“　ａｒ　得　ａ　ａ　ａ　ａｚ　，●●●●，（、，●【　口１　６１　　ｆ　ｌ　ａＷ　ａ硼　ａＷ　、●●●●　ｒ●　Ｊ　ｆｄ（Ａｔ　］　３ｘ　一　ｄ（Ａｙ　一　　ａ“　ａ“　ａ“　【ｄ（　『＝．　ａ　ａ　一　为简化记号，可令Ｇ　一　ａ　ａ—ａ　打　．　也就是　∑　一　ａＷ　ａ硼　ａＷ　Ｕ，一　（　）＋　（，●●●●，（、，●【口Ⅳ　　）＋警（∑一，●●●●　、●●【　６＂　　　Ｈ　　）　　．　ｆ　、●●●●●●＼，●●Ｊ　，●●●●∑　，（、，将展开式各次幂相比较，有　●【　Ｏ　Ｏ　Ｏ　、●●●●●●、，●　Ｊ　，（　）　、　，　ａ“　ａ“　ａ“　＝　（　）＋　（　）＋　７Ｉｘ　ａ　ａ　ｍ　（Ａｚ）＋　（　＋　（　）　ａ　ａｒ　如警为常数，可求得方程组（１２）的解为　ａＷ　ａ硼　ａＷ　７Ｉｘ　一薹　１　ｃ蔷　∥　ｃ　３　ｆａｊｏ］　一Ｇ　，｛ｂｊＩ　ｏ｝一　ｌ　或　一Ａｘｉｏｅｘｐ＼　３ｕｇ　Ｚ￣ｏ）ｆ）　（１４）　ｔ．Ｃｉｏ　Ｊ　如警不是常数，可用逆解法求得脉动尺度△　．之　值为　．一　ｘｐ　ｃ警　）　ａ　Ｕ＾　　Ｉａ　Ｕ　△　。十　。　事实上　＝Ｇ　，　ａ　＋　。　一　一ｃ考　ｅｘｐ｛ｆ。ｃ篆Ｚ２　Ｌ￣Ｔｋｏ　）　。＋　＋　ａＷ　。　＼，●，●●●●，（、，如　、●●●●●●维普资讯 http://www.cqvip.com 第１期　管国永等：流场中的脉动尺度的解析表达　１５　如此，有递推公式　展开式为：　＝“，一（　。＋　。　＋　出　。）　。　，●●●，Ｊ‘、●●【　、●●●●●●　，，●，Ｊ　．　ｃ鲁＋萼瓮＋誓瓮　一一　＝　，一　薹扣　付　Ｇ　　●●　一州　（鬈　。＋　。　一ａ　＾　、　ｆ　十　０　Ｊ　．　ｃ害　＋号＋冬　，结合初始条件ｔ一０时，△五一△　。　、●●●●●●　＝　（　。＋　＋　。）　，，●，Ｊ　上述解答可写为有限形式　一　ｅｘｐ．　ｃ鲁　＋考瓮＋害　（１６）　｛ｃ　￣　ＴＣｊＯ　５　结　论　５．１　时均流场中的流速梯度　…Ｊ　展开式为　一　ｏｅｘｐ［（　＋　３　ｕ　Ａｙｏ＋　ａ　ｕ　Ｚ￣Ｚｏ）ｔ］　一　ｏｅｘｐ［ｃ象　＋考＋３出￣　Ｚ￣Ｚ。ｏ）ｔ］　是脉动尺度微结　一　ｏｅｘｐ［ｃ碧　＋　３ｗ　Ａｙｏ＋　ａｗ）　构中最重要的因素。　决定了流场的结构，及湍流　‘“　ｊ　的发生发展。　４　脉动流速　将△　的表达式两边对时间ｔ求导得　一　一　５．２产生脉动尺度必须有初始脉动　即如无　外界扰动，则流场中的层流状态仍可维持下去。这　也是上临界雷诺数决定于水流扰动情况的原因。　５．３　脉动尺度Ａｘ　的解析结果，揭示　Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ假设，不符合雷诺应力的内部结构。　５．４　以本文为基础，我们将给出湍流场中的频率　＝ｃ羞　ｘ机差　｝　分布，功率谱及分形的维数。　参考文献：　［１］　潘文全．流体力学基础（Ｉ－册）．机械工艺出版社，１９８０，４５～６６．　［２］　蔡树棠．湍流一和二方程模式与混合长度理论等的关系．中国力学学会第三届全国流体力学会议论文集，科学出版　社，１９８８，３５～３８．　［３］　李炜．环境水力学进展，武汉水利电力大学出版社，１９９９．５．　１－４３　景思謇，张鸣远编著．流体力学，西安交通大学出版社，２００１．７，１５４～１６７．　［５］　窦国红．紊流力学，人民教育出版社，８３（４），５３～６３，２２３～２４６．