平行四边形及其性质

　　教学目标 

　　1、知识目标

　　（1）使学生掌握平行四边形的概念，理解两条平行线间的距离的概念。

　　（2）掌握平行四边形的性质定理1、2，并能运用这些知识进行有关的证明或计算.

　　2、能力目标

　　(1)通过启发、引导，让学生猜想结论，培养学生的观察能力和猜想能力。

　　(2)验证猜想结论，培养学生的论证和逻辑思维能力。

　　(3)通过开放式教学，培养学生的创新意识和实践能力。

　　3、非智力目标

　　渗透从具体到抽象、化未知为已知的数学思想及事物之间相互转化的辩证唯物主义观点.

　　教学重点、难点

　　重点：平行四边形的概念及其性质.

　　难点：正确理解两条平行线间的距离的概念和性质定理2的推论。

　　平行四边形的概念及性质的灵活运用

　　教学方法：讲解、分析、转化

　　教学过程 设计

　　一、利用分类、特殊化的方法引出平行四边形的概念

　　1.复习四边形的知识.

　　(1)引导学生画任意凸四边形，指出它的主要元素——顶点、边、角、对角线的性质，强调对角线的作用：将四边形分割化归为三角形来研究.

　　(2)将四边形的边角按位置关系分为两类：

　　教学时应结合图形，让学生识别清楚，并注意与三角形中角的对边、边的对角及第一章中的邻角相区别.

　　2.教师提问：四边形中的两组对边按位置关系分为几种情况？

　　引导学生画图回答，并出示投影片显示四边形与特殊四边形的关系，如图4－11.

　　3.对比引出平行四边形的概念.

　　(1)引导学生根据图4－11，叙述平行四边形的概念，引出课题.

　　(2)注意它与梯形的对比，及它与四边形的特殊与一般的关系：平行四边形是特殊的四边形，因此它具有四边形的一切性质(共性).同时它还具有一般四边形不具备的特殊性质(个性).

　　(3)强调定义既是平行四边形的一个判定方法，同时又是平行四边形的一个性质.

　　(4)介绍平行四边形的符号表示及定义的使用方法：如图4－12.

　　①∵ ABCD，∴AD∥BC，AB∥CD.(平行四边形的定义)

　　②∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形.(平行四边形的定义)

　　练习1(投影)

　　如图4－13，DC∥EF∥AB，DA∥GH∥CB，图中的平行四边形共有__个，它们是__.

　　二、探索平行四边形的性质并证明

　　1.探索性质.

　　启发学生从平行四边形的主要元素——边、角、对角线的位置关系及数量关系入手，来观察、探索、猜想平行四边形的特有的性质如下：

　　(3)对角线

　　⑤对角线互相平分(性质定理3)

　　教师注意解释并强调对角线互相平分的含义及表示方法.

　　2.利用化归的方法对性质逐一进行证明.

　　(1)由平行四边形的定义及平行线的性质很快证出性质①，④，③.

　　(2)启发学生添加一条或两条对角线，将四边形分割、化归为三角形；利用全等三角形的知识证出性质②，⑤.

　　(3)写出证明过程.

　　3.关于“两条平行线间的平行线段和距离”的教学.

　　(1)利用性质定理2

　　导出推论：夹在两条平行线间的平行线段相等.

　　①提问：在图4－14中，l1∥l2，AB∥CD，那么AB，CD的数量有何关系？引导学生根据平行四边形的定义和性质进行证明.

　　②引导学生用语言简练地叙述图4－14所反映的几何命题，并强调它的作用.证题时可节省步骤，省掉判定平行四边形这一步，直接得到夹在两条平行线间的平行线段相等.

　　③强调推论中的条件：“夹”、“平行线间”、“平行线段”的含义和重要性，并做一组辨析练习.

　　练习2

　　(投影)如图4－15，判断下列几组图形能否体现推论所代表的含义.

　　(2)根据图4－15(d)引出两条平行线的距离的概念，并通过练习区别三个距离.

　　练习3

　　在图4－15(d)中，

　　①点A与点C的距离是线段__的长；

　　②点A到直线l2的距离是线段__的长；

　　③两条平行线l1与l2的距离是线段__或__的长；

　　④由推论可得：两条平行线间的距离__.

　　三、平行四边形的定义及性质的应用

　　1.计算.

　　例1填空.

　　(1)在 ABCD中，AB＝a，BC＝b，∠A＝50°，则 ABCD的周长为__，∠B＝__，∠C＝__，∠D＝__；

　　(2)在 ABCD中：①∠A∶∠B＝5∶4，则∠A＝__；②∠A＋∠C＝200°，则∠A＝___，∠B＝__；

　　(3)已知平行四边形周长为54，两邻边之比为4∶5，则这两边长度分别为__；

　　(4)已知 ABCD对角线交点为O，AC＝24mm，BD＝26mm，①若AD＝22mm，则△OBC周长为__；②若AB⊥AC，则△OBC比△OAB的周长大___；

　　(5)在 ABCD中，AB＝8cm，BC＝10cm，∠B＝30°，S ABCD＝__；

　　说明：通过此题让学生熟悉平行四边形的性质，会用它及方程的思想进行计算，并复习平行四边形的面积公式.

　　2.证明.

　　例2 已知：如图4－16， ABCD中，E，F分别为BC，AD上的点，AE∥CF.求证(1)BE＝DF；(2)EF过BD的中点.

　　分析：

　　(1)尽量利用平行四边形的定义和性质，避免证三角形全等.

　　(2)考虑特殊化情形.在 ABCD中，若E，F在BC，AD上运动到如下位置：AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，求证BE＝DF.在题目的变化与联系中灵活选用性质来解题.

　　例3已知：如图4－17，A′B′∥BA，B′C′∥CB，C′A′∥AC.求证：(1)∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′；(2)△ABC的顶点分别是△B′C′A′各边的中点.

　　着重引导学生先分解基本图形，图中有3个平行四边形： C′BCA， ABCB′， ABA′C，分别利用对角相等和对边相等的性质使问题得到证明.对于第(2)问也可用“夹在两条平行线间的平行线段相等”来证明.

　　例4 已知：如图4－18(a)， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O与AB，CD分别相交于点E，F.求证：OE＝OF，AE＝CF，BE＝DF.

　　分析：

　　(1)引导学生证明以OE，OF为边的两个三角形全等，如证△AOE≌△COF或证△BOE≌△DOF.

　　(2)根据学生实际，对图4－18(a)可作适当引申，如图4－18(b)，(c)，(d)，并归纳结论如下：过平行四边形对角线的交点作直线交对边或对边的延长线，所得对应线段相等.

　　(3)图4－18是一组重要的基本图形，熟悉它的性质对解答复杂问题是很有帮助的.

　　3.供选用例题.

　　(1)从平行四边形的一个锐角顶点作平行四边形的两条高线.如果这两条高线的夹角为135°，则这个平行四边形相邻两内角的度数为__；若高线分别为1cm和2cm，则平行四边形的周长为__，面积为___；若两条高线夹角为120°呢？

　　(2)如图4－19，在△ABC中，AD平分∠BAC，过D作DE∥AC交AB于E，过E作EF∥DC交AC于F.求证：AE＝FC.

　　(3)如图4－20，在 ABCD中，AD＝2AB，将AB向两方延长，使AE＝BF＝AB.求证：EC⊥FD.

　　四、师生共同小结

　　1.平行四边形与四边形的关系.

　　2.学习了平行四边形哪些方面的性质？

　　3.两条平行线的距离是怎样定义的？有什么性质？

　　五、作业 

　　课本第143页第2，3，4，5，6题.

　　课堂教学设计说明

　　本教学设计需2课时完成.

　　这节内容分2课时.第1课时在复习四边形的有关知识的基础上，用对比的方式引入平行四边形的概念，充分体现了平行四边形在四边形体系中的地位，然后，教师应启发学生从边、角、对角线三个方面探索平行四边形的性质，使知识更加系统，更符合学生的认知规律，而且突出了第1课时的重点，同时更能培养学生主动探求知识的精神和思维的条理性.第2课时重点应用平行四边形的定义、性质进行计算和证明，教师注意让学生巩固基础知识和基本技能，加强对解题思路的分析，解题思想方法的概括、指导和结论的升华.