等差数列

等差数列

教学目标 

1.理解的概念，掌握的通项公式，并能运用通项公式解决简单的问题.
（1）了解公差的概念，明确一个数列是的限定条件，能根据定义判断一个数列是，了解等差中项的概念；
（2）正确认识使用的各种表示法，能灵活运用通项公式求的首项、公差、项数、指定的项；
（3）能通过通项公式与图像认识的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题.
2.通过的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过通项公式的运用，渗透方程思想.
3.通过概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识；通过对的研究，使学生明确与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点.

关于的教学建议

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

①教学重点是的定义和对通项公式的认识与应用，是特殊的数列，定义恰恰是其特殊性、也是本质属性的准确反映和高度概括，准确把握定义是正确认识，解决相关问题的前提条件.通项公式是项与项数的函数关系，是研究一个数列的重要工具，的通项公式的结构与一次函数的解析式密切相关，通过函数图象研究数列性质成为可能.

②通过不完全归纳法得出的通项公式，所以是教学中的一个难点；另外， 出现在一个等式中，运用方程的思想，已知三个量可以求出第四个量.由于一个公式中字母较多，学生应用时会有一定的困难，通项公式的灵活运用是教学的有一难点.

（3）教法建议

①本节内容分为两课时，一节为的定义与表示法，一节为通项公式的应用.

②定义的引出可先给出几组，让学生观察、比较，概括共同规律，再由学生尝试说出的定义，对程度差的学生可以提示定义的结构：“……的数列叫做”，由学生把限定条件一一列举出来，为等比数列的定义作准备.如果学生给出的定义不准确，可让学生研究讨论，用符合学生的定义但不是的数列作为反例，再由学生修改其定义，逐步完善定义.

③的定义归纳出来后，由学生举一些的例子，以此让学生思考确定一个的条件.

④由学生根据一般数列的表示法尝试表示，前提条件是已知数列的首项与公差.明确指出其图像是一条直线上的一些点，根据图像观察项随项数的变化规律；再看通项公式，项 可看作项数 的一次型（ ）函数，这与其图像的形状相对应.

⑤有穷的末项与通项是有区别的，数列的通项公式 是数列第 项 与项数 之间的函数关系式，有穷的项数未必是 ，即其末项未必是该数列的第 项，在教学中一定要强调这一点.

⑥前 项和的公式推导离不开的性质，所以在本节课应补充一些重要的性质；另外可让学生研究的子数列，有规律的子数列会引起学生的兴趣.

⑦是现实生活中广泛存在的数列的数学模型，如教材中的例题、习题等，还可让学生去搜集，然后彼此交流，提出相关问题，自己尝试解决，为学生提供相互学习的机会，创设相互研讨的课堂环境.

通项公式的教学设计示例

教学目标 

1.通过教与学的互动，使学生加深对通项公式的认识，能参与编拟一些简单的问题，并解决这些问题；

2.利用通项公式求的项、项数、公差、首项，使学生进一步体会方程思想；

3.通过参与编题解题，激发学生学习的兴趣.

教学重点，难点

教学重点是通项公式的认识；教学难点 是对公式的灵活运用.

教学用具

实物投影仪，多媒体软件，电脑.

教学方法

研探式.

教学过程 

一.复习提问

前一节课我们学习了的概念、表示法，请同学们回忆的定义，其表示法都有哪些？

的概念是从相邻两项的关系加以定义的，这个关系用递推公式来表示比较简单，但我们要围绕通项公式作进一步的理解与应用.

二.主体设计

通项公式 反映了项 与项数 之间的函数关系，当的首项与公差确定后，数列的每一项便确定了，可以求指定的项（即已知 求 ）.找学生试举一例如：“已知 中，首项 ，公差 ，求 .”这是通项公式的简单应用，由学生解答后，要求每个学生出一些运用通项公式的题目，包括正用、反用与变用，简单、复杂，定量、定性的均可，教师巡视将好题搜集起来，分类投影在屏幕上.

1.方程思想的运用

（1）已知 中，首项 ，公差 ，则－397是该数列的第______项.

（2）已知 中，首项 ， 则公差

（3）已知 中，公差 ， 则首项

这一类问题先由学生解决，之后教师点评，四个量 ， 在一个等式中，运用方程的思想方法，已知其中三个量的值，可以求得第四个量.

2.基本量方法的使用

（1）已知 中， ，求 的值.

（2）已知 中， ， 求 .

若学生的题目只有这两种类型，教师可以小结（最好请出题者、解题者概括）：因为已知条件可以化为关于 和 的二元方程组，所以这些是确定的，由 和 写出通项公式，便可归结为前一类问题.解决这类问题只需把两个条件（等式）化为关于 和 的二元方程组，以求得 和 ， 和 称作基本量.

教师提出新的问题，已知的一个条件（等式），能否确定一个？学生回答后，教师再启发，由这一个条件可得到关于 和 的二元方程，这是一个 和 的制约关系，从这个关系可以得到什么结论？举例说明（例题可由学生或教师给出，视具体情况而定）.

如：已知 中， …

由条件可得 即 ，可知 ，这是比较显然的，与之相关的还能有什么结论？若学生答不出可提示，一定得某一项的值么？能否与两项有关？多项有关？由学生发现规律，完善问题

（3）已知 中， 求 ； ； ； ；….

类似的还有

（4）已知 中， 求 的值.

以上属于对数列的项进行定量的研究，有无定性的判断？引出

3.研究的单调性

，考察 随项数 的变化规律.着重考虑 的情况. 此时 是 的一次函数，其单调性取决于 的符号，由学生叙述结果.这个结果与考察相邻两项的差所得结果是一致的.

4.研究项的符号

这是为研究前 项和的最值所做的准备工作.可配备的题目如

（1）已知数列 的通项公式为 ，问数列从第几项开始小于0？

（2） 从第________项起以后每项均为负数.

三.小结

1. 用方程思想认识通项公式；

2. 用函数思想解决问题.

四.板书设计