梅涅劳斯定理和塞瓦定理.讲义学生版

中考要求

知识点 A要求

B要求 Ｃ要求 比例及掌握平行线分线段成比例定理的内容以及其推论，同时会运会运用定理及其推论的内容来解熟知定理内容 用定理解决问题 决相似的问题 定理 知识点睛

一、比例的基本性质

1)2)3)4)5)6)7)

acadbc,这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式; bdacbd(反比定理); bdacacabdc(或)(更比定理); bdcdbaacabcd(合比定理); bdbdacabcd(分比定理); bdbdacabcd(合分比定理); bdabcdacmacma(bdn0)(等比定理). bdnbdnb二、平行线分线段成比例定理

1.平行线分线段成比例定理

如下图，如果l1∥l2∥l3，则

ABDEBCEFABAC，，. ACDFACDF DEDFABCDEFl1l2l3

2. 平行线分线段成比例定理的推论： 如图，在三角形中，如果DE∥BC，则

ADAEDEADAEDE，反之如果有，那么DE∥BC ABACBCABACBC12.2.3梅涅劳斯定理和塞瓦定理 讲义·学生版

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AEEADDBCBC

三、梅涅劳斯定理

梅内劳斯（Menelaus，公元98年左右），是希腊数学家兼天文学家．梅涅劳斯定理是平面几何中的一个重要定理．

梅涅劳斯定理：X、Y、Z分别是△ABC三边所在直线BC、CA、AB上的点．则X、Y、Z共线

CXBZAY1． XBZAYC根据命题的条件可以画出如图所示的两个图形：或X、Y、Z三点中只有一点在三角形边的延长线上，而其它两点在三角形的边上；或X、Y、Z三点分别都在三角形三边的延长线上． 的充分必要条件是：

AZbBaYcCXYZabBAcCX

CXBZAY1． XBZAYC设A、B、C到直线XYZ的距离分别为a、b、c．则 证明：（1）必要性，即若X、Y、Z三点共线，则

CXcBZbAYaCXBZAYcba，、，三式相乘即得1 XBbZAaYCcXBZAYCbacCXBZAY1，则X、Y、Z三点共线． XBZAYCCXBZAY设直线XZ交AC于Y，由已证必要性得：1

XBZAYCCXBZAYAYAY又因为． 1，所以XBZAYCYCYC因为Y和Y或同在AC线段上，或同在AC边的延长线上，并且能分得比值相等，所以Y和Y比重合为一点，也就是X、Y、Z三点共线．

（2）充分性，即若

梅涅劳斯定理的应用，一是求共线线段的笔，即在得第三个．二是证明三点共线．

CXBZAY、、三个比中，已知其中两个可以求ZAXBYC四、塞瓦定理

连结三角形一个顶点和对边上一点的线段叫做这个三角形的一条塞瓦线．塞瓦（G·Gevo1647-1734）

是意大利数学家兼水利工程师．他在1678年发表了一个著名的定理，后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理．

塞瓦定理：从△ABC的每个顶点出发作一条塞瓦线AX，BY，CZ．则AX，BY，CZ共点的充分必要

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12.2.3梅涅劳斯定理和塞瓦定理 讲义·学生版

条件是

BXCYAZ1． XCYAZBC'ZPBAB'YXC

充分性命题：设△ABC的三条塞瓦线AX，BY，CZ共点，则必有必要性命题：设△ABC中，AX，BY，CZ是三条塞瓦线，如果线共点．

我们先证明充分性命题．

如图，设AX，BY，C．由CZ相交于P点，过A作BC边的平行线，分别交BY，CZ的延长线于B，平行截割定理，得

BXCYAZ1． XCYAZBBXCYAZCZ三1，则AX，BY，XCYAZBBXABCYBCAZACBXCYAZ．上面三式两边分别相乘得：，，1

XCACYAABZBBCXCYAZB我们再证明必要性命题．

AZ'ZYPBXC

假设AX与BY这两条塞瓦线相交于P点，连CP交AB于Z．则CZ也是一条过P点的△ABC的塞

BXCYAZBXCYAZAZAZ瓦线．根据已证充分性命题，可得．所1，由因为1，进而可得XCYAZBXCYAZBZBZBAZAZ以，因此AZAZ．所以Z与Z重合，从而CZ和CZ重合，于是得出AX，BY，CZ共点． ABAB塞瓦定理在平面几何证题中有着举足轻重的作用．第一方面，利用塞瓦定理的必要性可证明三线共点问题．第二方面，当一个三角形有三条塞瓦线共点时，依据塞瓦定理的充分性命题，就可以得出六条线段比例乘积等于1的关系式．利用这个关系式可以证明线段之间的比例式或乘积式．

例题精讲

一、梅涅劳斯定理

【例1】 已知△ABC中，D是BC的重点，经过D的直线交AB与E，交CA的延长线于F．求证：

FAEA． FCEB12.2.3梅涅劳斯定理和塞瓦定理

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FAEBDC

【巩固】如图所示，△ABC中，∠ABC=90°，ACBC．AM为BC边上的中线，CDAM于D，CDAE的延长线交AB于E．求．

EBCM

DAEB

【例2】 如图所示，设D、E分别在△ABC的边AC、AB上，BD与CE交于F，AEEB，

AD2．S△ABC40．求SAEFD． DC3AEFBCD

【巩固】如图所示，△ABC内三个三角形面积分别为5，8，10．四边形AEFD的面积为x，求x的值．

12.2.3梅涅劳斯定理和塞瓦定理 讲义·学生版

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AE5BxF10C8D

【例3】 在△ABC的三边BC、CA、AB上分别取点D、E、F．使

BDCEAF1．若BE与CF，DCEAFB2CF与AD，AD与BE的交点分别为A1、B1、C1

S△A1B1C11． 求证：

S△ABC7AFB1C1BDEA1C

【巩固】△ABC中，D，E分别是BC，CA上的点，且BD:DCm:1，CE:EAn:1．AD与BE交于F，

问△ABF的面积与△ABC面积的比值是多少？

AGFBDCE

【例4】 如图所示，△ABC的三条外角平分线BE、AD、CF，与对边所在直线交于E、D、F三点，

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求证：D、E、F三点共线．

ABCDFE

【巩固】P是平行四边形ABCD内任意一点，过P作AD的平行线，分别交AB于E，交CD于F；又过P作AB的平行线，分别交AD于G，交BC于H，又CE，AH相交于Q． 求证：D，P，Q三点共线．

DGPQAEBFKHC

二、塞瓦定理

【例5】 设AX，BY，CZ是△ABC的三条中线，求证：AX，BY，CZ共点．

AZYBXC

【例6】 若AX，BY，CZ分别为△ABC的三条内角平分线．求证：AX，BY，CZ共点．

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AZYBXC

【例7】 若AX，BY，CZ分别为锐角△ABC的三角高线，求证：AX，BY，CZ共点．

AZYBXC

【例8】 锐角三角形△ABC中，AD是BC边上的高线，H是线段AD内任一点，BH和CH的延长线分

别交AC、AB于E、F，求证：EDHFDH．

AF

HEBDC

【巩固】如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD，在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延

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长DF交BC于G．

求证：GACEAC．

ABGFCED

课后作业

1.

如图所示，△ABC被通过它的三个顶点与一个内点O的三条直线分为6个小三角形，其中三个小三角形的面积如图所示，求△ABC的面积．

CEO40AF3530DB

2.

如图，设M为△ABC内一点，BM与AC交于点E，CM与AM交于F，若AM通过BC的中点D，求证：EF∥BC．

AFMBDCE

3.

如图，四边形ABCD的对边AB和CD，AD和BC分别相交于L，K，对角线AC与BD交于M．直

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12.2.3梅涅劳斯定理和塞瓦定理

线KL与BD，AC分别交于F，G．

求证：KFLFKGLG． 12.2.3梅涅劳斯定理和塞瓦定理 讲义·学生版

DAMBCKFLG

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