高等代数北大版习题参考答案

高等代数北大版习题参

考答案

GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-

第

七章 线性变换

1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：

1） 在线性空间V中，A,其中V是一固定的向量；

2） 在线性空间V中，A其中V是一固定的向量；

22(x,x,x)(x,xx,x)； 12312333） 在P中，A

334） 在P中，A(x1,x2,x3)(2x1x2,x2x3,x1)； 5） 在P[x]中，Af(x)f(x1) ；

6） 在P[x]中，Af(x)f(x0),其中x0P是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A。

nnnn

8） 在P中，AX=BXC其中B,CP是两个固定的矩阵. 解 1)当0时,是;当0时,不是。 2)当0时,是;当0时,不是。

3)不是.例如当(1,0,0),k2时,kA()(2,0,0), A(k)(4,0,0), A(k) kA()。

4)是.因取(x1,x2,x3),(y1,y2,y3),有 A()= A(x1y1,x2y2,x3y3)

=(2x12y1x2y2,x2y2x3y3,x1y1) =(2x1x2,x2x3,x1)(2y1y2,y2y3,y1) = A+ A，

A(k) A(kx1,kx2,kx3)

(2kx1kx2,kx2kx3,kx1)

(2kx1kx2,kx2kx3,kx1) = kA()，

故A是P上的线性变换。

5) 是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x],并令 u(x)f(x)g(x)则

A(f(x)g(x))= Au(x)=u(x1)=f(x1)g(x1)=Af(x)+ A(g(x))， 再令v(x)kf(x)则A(kf(x)) A(v(x))v(x1)kf(x1)kA(f(x))， 故A为P[x]上的线性变换。

6)是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x]则.

A(f(x)g(x))=f(x0)g(x0)A(f(x))A(g(x))， A(kf(x))kf(x0)kA(f(x))。

37)不是，例如取a=1,k=I，则A(ka)=-i , k(Aa)=i, A(ka)kA(a)。 8)是，因任取二矩阵X,YPnn，则

A(XY)B(XY)CBXCBYCAX+AY，

A(kX)=B(kX)k(BXC)kAX，故A是Pnn上的线性变换。

2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换,以B表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换,以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的变换，证明：A4=B4=C4=E,ABBA,A2B2=B2A2，并检验(AB)2=A2B2是否成立。 解 任取一向量a=(x,y,z)，则有 1) 因为

Aa=(x,-z,y), A2a=(x,-y,-z)，A3a=(x,z,-y), A4a=(x,y,z)， Ba=(z,y,-x), B2a=(-x,y,-z)，B3a=(-z,y,x), B4a=(x,y,z)， Ca=(-y,x,z), C2a=(-x,-y,z)，C3a=(y,-x,z), C4a=(x,y,z)， 所以A4=B4=C4=E。

2) 因为AB(a)=A(z,y,-x)=(z,x,y)，BA(a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x)， 所以ABBA。

3)因为A2B2(a)=A2(-x,y,-z)=(-x,-y,z)，B2A2(a)=B2(x,-y,-z)=(-x,-y,z)， 所以A2B2=B2A2。

3) 因为(AB)2(a)=(AB)(AB(a))_=AB(z,x,y)=(y,z,x)，A2B2(a)=(-x,-y,z)， 所以(AB)2A2B2。

3.在P[x] 中，Af(x)f'(x),Bf(x)xf(x)，证明:AB-BA=E。 证 任取f(x)P[x]，则有

(AB-BA)f(x)=ABf(x)-BAf(x)=A(xf(x))-B(f'(x))=f(x)xf;(x)-xf'(x)=f(x)

所以 AB-BA=E。

4.设A,B是线性变换，如果AB-BA=E，证明：AkB-BAk=kAk1 (k>1)。 证 采用数学归纳法。当k=2时

A2B-BA2=(A2B-ABA)+(ABA-BA2)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2ª，结论成立。

归纳假设km时结论成立，即AmB-BAm=mAm1。则当km1时，有 Am1B-BAm1=(Am1B-AmBA)+(AmBA-BAm1)=Am(AB-BA)+(AmB-BAm)A=AmE+mAm1A=(m1)Am。

即km1时结论成立.故对一切k1结论成立。 5.证明：可逆变换是双射。

证 设A是可逆变换，它的逆变换为A1。

若ab，则必有AaAb，不然设Aa=Ab，两边左乘A1，有a=b，这与条件矛盾。

其次，对任一向量b，必有a使Aa=b，事实上,令A1b=a即可。因此,A是一个双射。

6.设1,2,,n是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换。证明：A是可逆变换当且仅当A1,A2,,An线性无关。

证 因A(1,2,,n)=(A1,A2,,An)=(1,2,,n)A， 故A可逆的充要条件是矩阵A可逆，而矩阵A可逆的充要条件是

A1,A2,,An线性无关，故A可逆的充要条件是A1,A2,,An线性无关.。

7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:

1) 第1题4)中变换A在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵； 2) [o; 1,2]是平面上一直角坐标系,A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影,B是平面上的向量对2的垂直投影，求A,B,AB在基

1,2下的矩阵；

3) 在空间P[x]n中，设变换A为f(x)f(x1)f(x)，

1试求A在基i=x(x1)(xi1) (I=1,2,,n-1)下的矩阵A；

i!4) 六个函数 1=eaxcosbx,2=eaxsinbx，3=xeaxcosbx,4=xeaxsinbx，

111=x2eaxcosbx,1=eaxx2sinbx，的所有实数线性组合构成实数域上一个六

22维线性空间，求微分变换D在基i(i=1,2,,6)下的矩阵；

5) 已知P3中线性变换A在基1=(-1,1,1),2=(1,0,-1),3=(0,1,1)下的矩阵是

101110，求A在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵； 1216) 在P3中，A定义如下：

A1(5,0,3)A2(0,1,6)， A(5,1,9)3其中

1(1,0,2)2(0,1,1)， (3,1,0)3求在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵； 7) 同上，求A在1,2,3下的矩阵。

解 1) A1=(2,0,1)=21+3，A2=(-1,1,0)=-1+2，A3=(0,1,0)= 2，

210故在基1,2，3下的矩阵为011。

1002）取1=（1，0），2=（0，1），则A1=

11111+2，A2=1+2，

2221，1故A在基12下的矩阵为A=2211。 22又因为B001=0，B2=2，所以B在基1，2下的矩阵为B=01，另外，

（AB）12=A（B2）=A2=211+22，

01所以AB在基1，2下的矩阵为AB=2。 1023）因为 x(x1)x(x1)01,1x,22!,,[x(n2)]n1(n1)!， 所以A0110，

A1(x1)x0，

A1)x[x(n3)]n1(x(n1)!x(x1)[x(n2)](n1)!

=

x(x1)[x(n3)](n1)!{(x1)[x(n2)]}

=n2，

0101所以A在基0,1,,n1下的矩阵为A=。1

04）因为 D1=a1-b2,

D2=b1-a2,6，

2D3=1+a3-b4, D4=2+b3+a4, D5=3+a5-b6, D6=4+b5+a6，

ab0所以D在给定基下的矩阵为D=000ba1001000100。 01abba00ab0ba00000011001，所以 5）因为(1,2,3)=(1,2，3)1111111(1,2，3)=(1,2,3)011=(1,2,3)X，

101故A在基1,2，3下的矩阵为

110101111112101110011=220。 B=XAX=11111211013021036）因为(1,2,3)=(1,2，3)011，

210103所以A(1,2,3)=A(1,2，3)011,

210505但已知A(1,2,3)=(1,2，3)011，

369505103故A(1,2，3)=(1,2，3)0110113692101

150572=(1,2，3)011736927574=(1,2，3)7277207571872072。 72471376717371 7171037）因为(1,2，3)=(1,2,3)011210103所以A(1,2,3)=(1,2,3)011210，

5051011 369235=(1,2,3)101。

110abab8．在P22中定义线性变换A1(X)=X, A(X)=X2cdcd, A2(X)= ababcdXcd, 求A1, A2, A3在基E11, E12, E21, E22下的矩阵。 解 因 A1E11=a E11+cE12, A1E12=a E12+c E22, A1E21=bE11+dE21, A1E22= bE21+d E22,

a0故A1在基E11, E12, E21, E22下的矩阵为A1=c00acb000b。 0d0d又因A2E11=a E11+b E12, A2E12= cE11+dE12,

A2E21= aE21+bE22, A2E22= cE21+d E22,

acbd故A2在基E11, E12, E21, E22下的矩阵为A2=0000000。 acbd0又因A3E11= a2E11+abE12+acE21+bcE22， A3E12= acE11+adE12+c2E21+cdE22， A3E21= abE11+b2E12+adE21+bdE22， A3E22 = bcE11+bdE12+cdE21+d2E22，

a2acabad故A3在基E11, E12, E21, E22下的矩阵为A3acc2bccdabb2adbdbcbd。 cd2d9.设三维线性空间V上的线性变换A在基1,2,3下的矩阵为

a11A=a21a31a12a22a32a13a23， a331) 求A在基3,2,1下的矩阵；

2) 求A在基1,k2,3下的矩阵，其中且； 3) 求A在基12,2,3下的矩阵。 解 1)因A3=a333+a232a131， A2=a323a222a121， A1=a313a212a111，

a33故A在基3,2,1下的矩阵为B3a23a13a32a22a12a31a21。 a112)因 A1=a111+

a21(k2)a313， k A(k2)=ka121+a22(k2)+ka323， A3=a131+

a23(k2)+a333， ka11a故A在1,k2,3下的矩阵为 B221ka31ka12a22ka32a13a23。 ka333)因

A(12)=(a11a12)(13)+(a21a22a11a12)2+(a31a32)3， A2=a12(12)+(a22a12)2+a323， A3=a13(12)+(a23a13)2+a333，

故A基12,2,3下的矩阵为

a11a12B3a21a22a11a12a31a32a12a22a12a32a23a13。 a33a1310. 设A是线性空间V上的线性变换，如果Ak10,但Ak=0，求证：

,A,, Ak1(k>0)线性无关。

证 设有线性关系l1l2AlkAk10， 用Ak1作用于上式,得

l1 Ak1=0(因An0对一切nk均成立)， 又因为Ak10,所以l10,于是有

l2Al3A2lkAk10，

再用Ak2作用之,得l2 Ak1=0.再由,可得l2=0.同理,继续作用下去,便可得 l1l2lk0,

即证,A,, Ak1(k>0)线性无关。

11.在n维线性空间中，设有线性变换A与向量使得An10，求证A在某

010。 组下的矩阵是 1010证 由上题知, ,A,A2,, An1线性无关，故,A,A2,, An1为线性空间V的一组基。又因为A01A0 A2+0 An1，

A(A)=0+0 A+1 A2+0 An1， ……………………………

A（An1）=0+0 A+0 A 2+0 An1 ， 故A在这组基下的矩阵为

010。 101012． 设V是数域P上的维线性空间，证明：与V的全体线性变换可以交换的线性变换是数乘变换。

证 因为在某组确定的基下，线性变换与n级方阵的对应是双射，而与一切n级方阵可交换的方阵必为数量矩阵kE，从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换K。

13. A是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，证明：如果A在任意一组基下的矩阵都相同，那么是数乘变换。 证

设A在基1,2,,n下的矩阵为A=(aij)，只要证明A为数量矩阵即

可。设X为任一非退化方阵，且

(1,2,n)=(1,2,,n)X， 则1,2,,n也是V的一组基，且A在这组基下的矩阵是X1AX，从而有

AX=XA，这说明A与一切非退化矩阵可交换。 若取

12X1，

n则由AX1=X1A知aij=0(ij)，即得

a11A=再取

a22， ann01000010X2=

00011000由AX2=X2A，可得 a11a22ann。

故A为数量矩阵，从而A为数乘变换。

14.设1,2,3,4是四维线性空间V的一组基，已知线性变换A在这组基下的矩阵为

01121222113，

551221) 求A在基11224,23234,334,424下 的矩阵；

2) 求A的核与值域；

3) 在A的核中选一组基,把它扩充为V的一组基,并求A在这组基下的矩阵； 4) 在A的值域中选一组基, 把它扩充为V的一组基, 并求A在这组基下的矩阵。 解 1)由题设,知

1000 (,23001,2,34)=(1,2,3,4)0110， 1112故A在基1,2,3,4下的矩阵为

100012100B=X1AX=2300101213000110102310 1255011122212111122234103102=33816403403。 330137382) 先求A1(0).设 A1(0)，它在1,2,3,4下的坐标为(1,2,3,4)，且A

在1,2,3,4下的坐标为(0,0,0,0,)，则

1021x112130x1255122x=00。 223x40因rank(A)=2，故由

x12x3x40x2x， 12x33x403可求得基础解系为X1=(2,,1,0),X2=(1,2,0,1)。

2若令1=(1,2,3,4)X1，2=(1,2,3,4)X2， 则1,2即为A1(0)的一组基，所以 A1(0)=L(1,2)。 再求A的值域AV。因为

A1=12324， A2=222324， A3=212534， A43=1325324，

rank(A)=2，故A1 ,A2, A3, A4的秩也为2，且A1 ,A2线性无关，故A1 ,A2可组成AV的基，从而AV=L(A1 ,A2)。

4) 由2)知1,2是A1(0)的一组基，且知1,2, 1,2是V的一组基，又

10(1,2, a1, a2)=(1,2,3,4)0023120100012， 01故A在基1,2, 1,2下的矩阵为

10B=00231201000110212201221111130550120223120100012 0159=21200100。

20020024) 由2)知A1=12324, A2=222324 易知A1, A2,3,4是V的一组基，且

0112(A1, A2,3,4)=(1,2,3,4)12120000， 1001故A在基A1, A2,3,4下的矩阵为

C=

011212125291=20000000100122101012221322。 0000111013125512121220000 100115. 给定P3的两组基

1(1,0,1)1(1,2,1)(2,1,0) 22(2,2,1)， (1,1,1)(2,1,1)33定义线性变换A: Ai=i(i=1,2,3)，

1) 写出由基1,2,3到基1,2,3的过度矩阵； 2) 写出在基1,2,3下的矩阵； 3) 写出在基1,2,3下的矩阵。

解 1)由(1,2,3)=(1,2,3)X，引入P3的一组基e1=(1,0,0), e2=(0,1,0),

e3=(0,0,1)，则

121(1,2,3)=(e1,e2,e3)011=(e1,e2,e3)A，

101所以

22121=(e1,e2,e3)B=(e1,e2,e3)A1B， (1,2,3)=(e1,e2,e3)2111故由基1,2,3到基1,2,3的过度矩阵为

1211122232X= A1B=011212=1310111121122)因

32322 A(,331,23)=(1,2,3)=(1,2,3)122，11252故A在基1,2,3下的矩阵为

23322A=33122。 112524) 因A(1,2,3)=A(1,2,3)X=(1,2,3)X，

故A在基1,2,3下的矩阵仍为X.。 16.证明

3232。 52 12i1与ni2相似，其中(i1,i2,,in)是1,2,,nin的一个排列。

证 设有线性变换A，使

1 A(1,2,,n)=(1,2,,n)i1则A(i1,i2,,in)=(i1,i2,,in)2=(1,2,,n)D1， n=(i1,i2,,in)D2， ini2于是D1与D2为同一线性变换A在两组不同基下的矩阵,故

12i1与ni2相似。 in17.如果A可逆,证明AB与BA相似。

证 因A可逆,故A1存在，从而A1(AB)A=( A1A)BA=BA，所以AB与BA相似。

A0B018.如果A与B相似，C与D相似，证明：与相似。

0B0D证 由已知，可设B=X1AX, D=Y1CY，则

X10A0X0Y10C0X10X这里0Y1=00B0=0D， Y01A0B0，故与相似。 Y0C0D19.求复数域上线性变换空间V的线性变换A的特征值与特征向量.已知A在一组基下的矩阵为：

11115631111340a1)A=52 2)A=a0 3)A=1111 4)A=101

12111112110001035)A=010 6)A=203 7)A=410

100130482解 1)设A在给定基1,2下的矩阵为A，且A的特征多项式为

EA=

3542=2-5-14=(7)(2)，故A的特征值为7，-2。

4x14x20先求属于特征值=7的特征向量。解方程组，它的基础解

5x5x0121系为1，因此A的属于特征值7的全部特征向量为k1 (k0)，其中

1=1+2。

5x14x204再解方程组，它的基础解系为，因此A的属于特征值5x4x0512-2的全部特征响向量为k2(k0)，其中2=41-52。

2)设A在给定基1,2下的矩阵为A，且当a=0时，有A=0，所以

EA=

0=2， 00x0x20故A的特征值为1=2=0。解方程组1，它的基础解系为

0x0x021100,1，因此A的属于特征值0的两个线性无关特征向量为1=1，2=2，故A以V的任一非零向量为其特征向量。

当a0时，EA为1=ai， 2= -ai。

=

a=2+a2=(ai)(ai)，故A 的特征值

aaix1ax20i当1=ai时，方程组的基础解系为1，故A 的属于特征值axaix021ai的全部特征向量为k1(k0)，其中1=-i1+2。

aix1ax20i当2= -ai时，方程组的基础解系为1，故A 的属于特征axaix021值-ai的全部特征向量为 k2 (k0)，其中2=i1+2。 3)设A在 给定基1,2,3,4下的矩阵为A，因为EA故A的特征值为1=2=32,42。

111100当2时,相应特征方程组的基础解系为X1,X2,X3，故

010001=(2)3(2)，

A 的属于特征值2的全部特征向量为 k11+k22+k33 (k1,k2,k3不全为零)，其中1=1+2，2=1+3，3=1+4。

11当2时，特征方程组的基础解系为X4，故A 的属于特征值-2

11的全部特征向量为 k4 (k0)，其中4=1-2-34。 4）设A 在给定基1,2,3下的矩阵为A，因

56EA=113134224=(2)(13)(13)21，

故A的特征值为1=2，2=1+3，31-3。

3x16x23x302当1=2时, 方程组x12x2x30的基础解系为1，故A 的属于特

x2x3x00231征值2的全部特征向量为 k1 (k0)，其中1=21-2。

(43)x16x23x303当=1+3时, 方程组x1(13)x2x30的基础解系为1，

23x2x(23)x0123故A 的属于特征值1+3的全部特征向量为 k2 (k0)，其中2=31-

2+(23)3。

(43)x16x23x303当=1-3时, 方程组x1(13)x2x30的基础解系为1，

23x2x(23)x0123故A 的属于特征值13的全部特征向量为 k3 (k0)，其中3=31-

2+(23)3。

5) 设A 在给定基1,2,3下的矩阵为A，因

010=(1)2(1)，

EA=01102故A的特征值为11,31。

01，故A的属于0当121x1x30的基础解系为0,1，方程组xx0311特征值1的全部特征向量为k11k22(k1,k2不全为零)，其中

113,22。

1x1x30当31时，方程组2x20的基础解系为0，故A的属于特征值

xx0131-1的全部特征向量为k3(k0)，其中313。

6) 设A 在给定基1,2,3下的矩阵为A，因

21EA=23(214)=(14i)(14i)，

13故A的特征值为10,214i,314i。

2x2x303当10时，方程组2x13x30的基础解系为1，故A的属于特征值

x3x02210的全部特征向量为k1(k0)，其中131223。

614i



2314i

当214i时，该特征方程组的基础解系为

10



，故A的属于

特征值14i的全部特征向量为k2(k0)，其中

2(614i)1(2314i)2103。

614i

2314i

当14i时，该特征方程组的基础解系为

10



，故A的属于

特征值14i的全部特征向量为k3(k0)，其中

3(614i)1(2314i)2103。

7) 设A 在给定基1,2,3下的矩阵为A，因

3100=(1)2(2)，

EA=4418221,32。

故A的特征值为1当1231，该特征方程组的基础解系为6，故A的属于特征值1的

20全部特征向量为k1(k0)，其中13162203。

0当32，该特征方程组的基础解系为0，故A的属于特征值-2的全部

1特征向量为k2(k0)，其中23。

20.在上题中,哪些变换的矩阵可以在适当的基下变成对角形?在可以化成对角形的情况下，写出相应的基变换的过度矩阵T，并验算T1AT。

解 已知线形变换A 在某一组基下为对角形的充要条件是有n个线形无关的特征向量,故上题中1)~6)可以化成对角形,而7)不能.下面分别求过渡矩阵T。

14141) 因为(1,2)(1,2) ，所以过渡矩阵T=1515，

51TAT=9194341470915=02。 15292)当a0时,已是对角型。

iiii过渡矩阵，T=当a0时,有(1,2)(1,2)1111， i1TAT=2i210aiiai02。 1a0110ai2113)因为(1,2,3,4)=(1,2,3,4)0011T=00111001，

101011111001，过渡矩阵10101122T1AT=。 2233211， 4)因为(1,2,3)=(1,2,3)102323332211，T1AT13过渡矩阵T=1。

02323131015)因为 (1,2,3)=(1,2,3)010，过渡矩阵

101101 T=010，

10111022001101100T1AT010010010010。

001111001010223614i614i6)因为 (1,2,3)(1,2,3)12314i2314i,

210103614i614i即过渡矩阵为 T=12314i2314i,

210100且T1AT0014i0。 014i0021.在P[x]n(n>1)中,求微分变换D的特征多项式，并证明D在任何一组基下的矩阵都不可能是对角阵。

x2xn1解 取P[x]n的一组基1,x,,...,，则D在此基下的矩阵为

2(n1)!00D=...0010...000...01...0.........，

0...10...0...............00...n， 11001从而ED.........000000故D的特征值是0(n重)，且D的属于特征值0的特征向量只能是非零常数。从而线性无关的特征向量个数是1，它小于空间的维数n，故D在任一组基下的矩阵都不可能是对角形。

14222.设 A=034，求Ak。

0431 解:因为EA00424(1)(5)(5)，

343故A的特征值为11,25,35，且A的属于特征值1的一个特征向量为X1(1,0,0)'，A的属于特征值5的一个特征向量为X2(2,1,2)'，A的属于特征值-5 的一个特征向量为X 3(1,2,1)'。

121100于是只要记T=(X1,X2,X3)012，则 T1AT050B，

02100510k且 B05k0000。 (5)k1211001205k021000101005k(5)20512 515于是AkTBkT1125k11(1)k1 =05k114(1)k025k11(1)k15k14(1)k1k1k1251(1) 。 5K14(1)k23.设1,2,3,4是四维线性空间V的一个基,线性变换A在这组基下的矩阵为

24353132 A195。

32221031171) 求A的基112234，221323，33，44下的矩阵；

2) 求A的特征值与特征向量；

3) 求一可逆矩阵T,使T1AT成对角形。 解 1)由已知得

12(1,2,3,4)(1,2,3,4)11200300(1,2,3,4)X，

110001故求得A在基1,2,3,4下的矩阵为

001B=XAX002) A

06505473。 0220521的特征多项式为f()EAEB2()(1)，

21 所以A的特征值为120,3,41。

2 A的属于特征值0的全部特征向量为k11k22，其中k1,k2不全为零，且

121323, 2124。

A的属于特征值1的全部特征向量为k33，其中 k30，且 2 341223+64。

A的属于特征值1的全部特征向量为k44,其中k40，且

4312324。

3）因为

21433121（1,2,3,4)(1,2,3,4)，

1011016202143031211 所求可逆阵为 T=，且 TAT为对角矩11011201621阵。

24.1)设1,2是线性变换A的两个不同特征值，1,2是分别属于1,2的特征向量，证明：12不是A的特征向量；

2)证明:如果线性空间V的线性变换A以V中每个非零向量作为它的特征向量，那么A是数乘变换。

证 1)由题设知A(1)11, A(2)22, 且12，

若12是A的特征向量，则存在0使 A（12）=(12)=12， A（12）=1122=12， 即 (1)1(2)20。

再由1,2的线性无关性，知120，即12，这是不可能的。

故12不是A的特征向量。

2）设V的一组基为1,2,...,n，则它也是A的n个线性无关的特征向量，故存在特征值1,2,...,n, 使

A(i)ii (i1,2,...,n)。

由1）即知12...nk。由已知，又有A()k (V)，即证A是数乘变换。

25.设V是复数域上的n维线性空间，A，B是V上的线性变换，且AB=BA.，证明：

1) 如过0是A的一个特征值，那么V0是B的不变子空间； 2) A，B至少有一个公共的特征向量。 证 1)设V0，则A0，于是由题设知 A(B)=B(A)=B(0)0(B)， 故BV0，即证V0是B的不变子空间。

3) 由1)知V0是B的不变子空间，若记B|V0=B0，则B0也是复数域上线性空间V0的一个线性变换，它必有特征值0,使B0B=0B (BV0,且B0)，

显然也有A(B)= 0B，故B即为A与B的公共特征向量。 26. 设V是复数域上的n维线性空间，而线性变换A在基

1,2,...,n下的矩阵是一若当块。证明： 1) V中包含1的A-子空间只有V自身； 2) V中任一非零A-子空间都包含n；

3) V不能分解成两个非平凡的A-子空间的直和。

证 1)由题设,知

1.A(1,2,...,n)=(1,2,...,n)A112A223即.........................，

An1nn1ann，

...1.设W为A-子空间,且1W,则A1W， 进而有 2A11WA2W， 3A22WA3W， …………………………………. nAn1n1W， 故W=L{1,2,...,n}=V。

2)设W为任一非零的A-子空间,对任一非零向量W,有 112...nn 不妨设10,则A1A12A2...nAn =1(12)+2(23)+…+nn =1223...n1nW 于是

1223...n1nW

同理可得 1324...n2nW，…，1nW 从而nW，即证V中任一非零的A-子空间W都包含n。 3）设W1,W2是任意两个非平凡的A-子空间，则由2）知

nW1且nW2,

于是nW1W2，故V不能分解成两个非平凡的A-子空间的直和。 27．求下列矩阵的最小多项式：

31310011313 1)010, 2) 31311001313001解 1)设A010，因为A2-E=0，所以21是A的零化多项式，但

100A-E0,A+E0，故A的最小多项式为mA()21。

2)因为f()EA4，所以A的最小多项式为,2,3,4之一,代入计算可得A的最小多项式为mA()2。

二 补充题参考解答

1. 设A,B是线性变换, A2= A, B2=B证明:

1) 如果(A+B)2 =A+B那么AB=0;

2) 如果, AB=BA那么(A+B-AB)2=A+B-AB. 证 1)因为A2= A, B2=B, (A+B)2 =A+B 由(A+B)2 =(A+B) (A+B)= A2 +AB+BA+ B2, 故A+B= A +AB+BA+ B, 即AB+BA=0.

又2AB=AB+AB=AB-BA= A2B-B2A= A2B+ABA= A (AB+BA)= A0=0 所以AB=0.

2) 因为A2= A, B2=B, AB=BA 所以(A+B-AB)2= (A+B-AB) (A+B-AB)

= A2+BA- AB A+ AB+ B2- AB2-A2B-BAB +ABAB = A+AB - AA B + AB+ B- AB-AB-ABB +AABB = A+AB - A B + AB+ B- AB-AB-AB +AB = A+B- AB。

2. 设V是数域P上维线性空间,证明:由V的全体变换组成的线性空间是n2维的。

证 因E11，E1n，E21，，E2n，，En1，Enn是Pnn的一组基，Pnn是n2维的。 V的全体线性变换与Pnn同构,故V的全体线性变换组成的线性空间是n2维的。

3. 设A是数域P上n维线性空间V的一个线性变换,证明:

1) 在P[x]中有一次数n2的多项式f(x),使f(A)0; 2) 如果f(A)0,g(A)0,那么d(A)0,这里

d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式.；

3) A可逆的充分必要条件是:有一常数项不为零的多项式

f(x)使f(A)0。

证 1)因为P上的n维线性空间V的线性变换组成的线性空间是n2维的，所以

n2+1个线性变换An,An221,、、、,A,E，一定线性相关,即存在一组不全为零的

数an2,an21,2,a1,a0使

2an2An+an21An21+

a1A+a0E=0，

2令f(x)an2xnan21xn且ai(i0,1,2,1a1xa0,

,n2)不全为零，（（fx））n2。

这就是说，在P[x]中存在一次数n2的多项式f(x),使f(A)0。即证。 2)由题设知d(x)u(x)f(x)v(x)g(x)因为f(A)0,g(A)0， 所以d(A)u(A)f(A)v(A)g(A)=0。

3)必要性.由1)知,在P[x]中存在一次数n2的多项式f(x),使f(A)0。即

an2An+an21An221+

a1A+a0E=0，

n2n21若a00,则f(x)an2xan21xa1xa0即为所求。若a00，

因ai(i0,1,2,,n2)不全为零，令aj是不为零的系数中下标最小的那一个，则

an2An+an21An221+

a1A+a0E=0， 因 A可逆，故存在

A1,(A1)j(Aj)1也存在，用(Aj)1右乘等式两边，

得an2A

n2j+an21A

2n2j1+…+ajE=0

2令f(x)an2xnjn+an21xj1+…+aj(aj0)，即f(x)为所求。

充分性.设有一常数项不为零的多项式

f(x)an2xan21xn2n21a1xa0(a00)使f(A)0，

即amAmam1Am1a1Aa0E0， 所以amAmam1Am1a1Aa0E， 于是1(amAm1a1E)AE， a0又A1(amAm1a1E)E， a0故A可逆。

4. 设A是线性空间V上的可逆线性变换。

1) 证明: A的特征值一定不为0； 2) 证明:如果是的A特征值，那么

1是A1的特征值。 证 1)设可逆线性变换A对应的矩阵是A,则矩阵A可逆,A的特征多项式f()为

f()n(a11a22ann)n1(1)nA，A可逆 ,故A0。 又因为A的特征值是的全部根，其积为A0,故A的特征值一定不为0。 2)设是的A特征值,那么存在非零向量,使得

A,用A1作用之，得（A1），于是A1，即是A1的特征值。

115.设A是线性空间V上的线性变换，证明；A的行列式为零的充要条件是A以零作为一个特征值。

证:设线性变换A矩阵为A,则 A的特征值之积为A。

必要性，设A0,则A的特征值至少有一个为零,即一另为一个特征值。 充分性，设A有一个特征值00,那么A0。 6. 设A是一个n阶下三角矩阵，证明：

1) 如果aiiajj(ij,i,j1,2n),那么A相似于一对角矩阵； 2) 如果a11a22ann，而至少有一aj0(i0i00阵相似。

证：1)因为A的多项式特征是

f()=EA(a11)(a22)(ann)，

又因

j)，那么A不与对角矩

0aaiijj(ij,i,j1,2n)，

故A有n个不同的特征值，从而矩阵A一定可对角化，故A似于对角矩阵。 2)假定

a11 A=1与对角矩阵B=a11相似， naia0112j0则它们有相同的特征值

n,,,12n,因为A的特征多项式

f()=a11， 所以

12na11,

a11由于 B=a11=a11a11E是数量矩阵，它只能与自身相似，故A

不可能与对角矩阵相似。

7.证明:对任一nn复系数矩阵A ,存在可逆矩阵T,使T1AT

， 证:存在一组基11，1r1,,s1,,sr,使与矩阵A相应的线性变换A在该基下的矩阵成若尔当标准形J，且

A1111112  ，

A111r1r1As1ss1s2 ，

Asrss1rs若过度矩阵为P，则

J1 P1APJJ2， JS重排基向量的次序，使之成为一组新基1r1,,11,,srs,,s1，则由新基到旧基的过渡矩阵为

Br1 Q=Br211，其中B=， rj1Brsrj于是 A(1r1,,11,,srs,,s1)=(1r1,,11,,srs,,s1)J， 故A在此新基下的矩阵即为上三角形 Q1(P1AP)QJ

即存在可逆矩阵T=PQ,使T1AT成上三角形。

8. 如果A1,A2,,As是线性空间V的两两不同的线性变换，那么在V中必存在向量a,使A1a,A2a,,Asa也两两不同。 证 令

VijV,AiAja (i,j1,2,s)，

因为Ai0Aj00,0Vij，故`Vij非空。

又因为A1,A2,,As两两不同,所以对于每两个Ai,Aj而言,总存在一个向量,使

AiAj，故Vij是V的非空真子集。

设,Vij,则AiA,AiAj，于是Ai()Aj()，即

Vij。

又Ai(k)kAikAjAj(k)，于是kVij，故Vij是V的真子空

间。

1)如果Vij都是V的非平凡子空间,在V中至少有一个向量不属于所有的

Vij,设Vij(i,j1,2,,s),则

AiAj(i,j1,2,,s)，

即证: 存在向量使A1,A2,,As两两不同。

2)如果{Vij}中有V的平凡子空间Vi0j0，则Vi0j0只能是零空间。对于这种Vi0j0,只要取0，就有AiAj,故这样的Vi0j0可以去掉。因而问题可归于1),即知也存在向量使A1,A2,,As两两不同。

9.设A是有限维线性空间V的线性变换,W是V的子空间.AW表示由W中向量的像组成的子空间,证明: dim(AW)dim(A1(0)W)dim(W)。

.设A1(0)W的维数 证 因为A也是W上的线形变换,故A1(0)W是W的子空间为r,W的维数为s.

今在A1(0)W中取一组基1,2,r,把它扩充成W的一组基

1,2,r,r1,s,

则AWL(A1,A2,Ar,Ar1,As)=L(Ar1,As)，

且Ar1,As线性无关，所以dim(AW)dim(A1(0)W)dim(W)。 10.设A,B是n维线性空间V的两个线性变换,证明：

rank(AB)rank(A)+rank(B)n。

证 在V中取一组基,设线性变换A,B在这组基下对应的矩阵分别为 A,B,则线性变换AB对应的矩阵为AB。

因为线性变换A,B,AB的秩分别等于矩阵A,B,AB的秩,所以对于矩阵A,B,AB有rank(AB)rank(A)+rank(B)n， 故对于线性变换A,B,AB也有

rank(AB)rank(A)+rank(B)n。 11.设A2A,B2B,证明：

1)A与B有相同值域的充要条件是ABB,BAA； 2) A与B有相同的核充要条件是ABA,BAB。 证1)必要性，若

AVBV,任取V,则BBVAV,故存在向量V,使BA，

于是ABA2AB，由的任意性,故有A。同理可证 AA。 充分性，若ABB,BAA,任取AaAVV,则有

AaBAaB(Aa)BV，于是AVBV，同理可证BVAV,故AVBV。

2)必要性.若A1(0)B1(0),对任意V,作向量A,因为 A

(A)=AA2A-A=0，

所以AA1(0)B1(0), 又B(A)=BBA0，

所以BBA，由的任意性，故有BBA。 作向量A,则B(B)=BB2BB0， 所以BB1(0)A1(0)。

又A(B)0,所以AAB,由的任意性,故有AAB.即证必要性。

充分性，若AAB,BBA.任取aA1(0),由

B(BA)B(A)B(0)0，知B1(0),从而A1(0)B1(0)。

同理可证B1(0)A1(0)，即证A1(0)B1(0)。