三角函数、平面向量综合题

三角函数与平面向量综合题

题型一：三角函数与平面向量平行(共线)的综合

例1、已知A、B、C为三个锐角，且A＋B＋C＝π.若向量→p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)与向量→q＝(cosA－sinA，1＋sinA)是共线向量.

C－3B2

（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）求函数y＝2sinB＋cos的最大值.

2

解：（Ⅰ）∵→p、→q共线，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA＋sinA)(cosA－sinA)， 332

则sinA＝，又A为锐角，所以sinA＝，则A＝. 423



(π－－B)－3B

3C－3B22

（Ⅱ）y＝2sinB＋cos＝2sinB＋cos

22

132

＝2sinB＋cos(－2B)＝1－cos2B＋cos2B＋sin2B

322＝

31

sin2B－cos2B＋1＝sin(2B－)＋1. 226

0B222BC,CB 由得B

336202B325

2B,，∴2B－＝，解得B＝，ymax＝2.

623666题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合

3

例2、已知向量→a＝(3sinα,cosα)，→b＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(，2π)，

2且→a⊥→b．

α（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos(＋)的值．

23

解：（Ⅰ）∵→a⊥→b，∴→a·→b＝0．而→a＝（3sinα，cosα），→b＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，

22

故→a·→b＝6sinα＋5sinαcosα－4cosα＝0．

412

由于cosα≠0，∴6tanα＋5tanα－4＝0．解之，得tanα＝－，或tanα＝．

32

314

∵α∈（，2π），tanα＜0，故tanα＝（舍去）．∴tanα＝－．

223

3α3

（Ⅱ）∵α∈（，2π），∴∈（，π）．

224

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4α1αα5α25

由tanα＝－，求得tan＝－，tan＝2（舍去）．∴sin＝，cos＝－，

32222525ααα2515325＋15

∴cos(＋)＝coscos－sinsin＝－×－×＝－ 232323525210

题型三. 三角函数与平面向量的模的综合

2

例3、已知向量→a＝(cosα,sinα)，→b＝(cosβ,sinβ)，|→a－→b|＝5.(Ⅰ)求cos(α－β)

55的值；(Ⅱ)若－＜β＜0＜α＜，且sinβ＝－，求sinα的值.

22132422

解：(Ⅰ)∵|→a－→b|＝5，∴→a－2→a·→b＋→b＝，

55将向量→a＝(cosα,sinα)，→b＝(cosβ,sinβ)代入上式得 4322

1－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＋1＝，∴cos(α－β)＝－. 55

(Ⅱ)∵－＜β＜0＜α＜，∴0＜α－β＜π，

2234

由cos(α－β)＝－，得sin(α－β)＝，

55512

又sinβ＝－，∴cosβ＝，

1313

33

∴sinα＝sin［(α－β)＋β］＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝.

65题型四 三角函数与平面向量数量积的综合

→例4、设函数f(x)＝→a·→b.其中向量→a＝(m，cosx)，b＝(1＋sinx，1)，x∈R，且f()＝2.（Ⅰ）2求实数m的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值. 解：（Ⅰ）f(x)＝→a·→b＝m(1＋sinx)＋cosx，



由f()＝2，得m(1＋sin)＋cos＝2，解得m＝1.

222

(Ⅱ)由（Ⅰ）得f(x)＝sinx＋cosx＋1＝2sin(x＋)＋1，

4当sin(x＋)＝－1时，f(x)的最小值为1－2.

4

题型五：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算

例5、f(x)ab，其中向量a(m,cos2x)，b(1sin2x,1)，xR，且函数yf(x)的

图象经过点(4,2)．

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（Ⅰ）求实数m的值； （Ⅱ）求函数yf(x)的最小值及此时x值的集合。

解：（Ⅰ）f(x)abm(1sin2x)cos2x

由已知f()m(1sin24)cos22，得m1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)1sin2xcos2x12sin(2x∴当sin(2x由sin(2x4)

4)1时，yf(x)的最小值为12，

3)1，得x值的集合为x|xk,kZ． 48题型六：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题

例6、设向量a(sinx,cosx),b(cosx,cosx),xR，函数f(x)a(ab).

3（Ⅰ）求函数f(x)的最大值与最小正周期；（Ⅱ）求使不等式f(x)成立的x的取值集.

2222解：（Ⅰ）∵f(x)a(ab)aaabsinxcosxsinxcosxcosx

11321sin2x(cos2x1)sin(2x)

22224232 ∴f(x)的最大值为，最小正周期是2223323（Ⅱ）要使f(x)成立，当且仅当sin(2x)，

222423,kZ, 即sin(2x)02k2x2kkxk488433即f(x)成立的x的取值集合是x|kxk,kZ．

288

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三角函数与平面向量训练

1、已知向量a=（x25x,3x），b=（2，x），且ab，则由x的值构成的集合是（ ） A、｛0，2，3｝ B、｛0，2｝ C、｛2｝ D、｛0，-1，6｝

2、设0x2,且1sin2xsinxcosx,则

3、已知→a＝(cos40，sin40)，→b＝(cos20，sin20)，则→a·→b＝

312

A．1 B． C． D．

222

→→→→→→

4、已知△ABC中，AB＝a，AC＝b，若a·b＜0，则△ABC是 A．钝角三角形

31

5、设→a＝(,sin)，→b＝(cos,)，且→a∥→b，则锐角为

23

A．30

6、已知→a＝(sinθ，1＋cosθ)，→b＝(1，1－cosθ)，其中θ∈(π，

A．→a∥→b

π7、已知向量→a＝(6，－4)，→b＝(0，2),→c＝→a＋→b，若C点在函数y＝sinx的图象上,

12

实数＝

（ ）

（ ） B．→a⊥→b 3

)，则一定有2

B．45

C．60

D．75

（ ）

B．直角三角形

C．锐角三角形

（ ）

（ ）

A．0x B．

D．

（ ）

4x75 C．x 4442x3 2D．任意三角形

C．→a与→b夹角为45°D．|→a|＝|→b|

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5A． 2

3B． 25C．－ 23D．－

2

→→

8、设0≤θ≤2π时，已知两个向量OP1＝(cosθ，sinθ)，OP2＝(2＋sinθ，2－cosθ)， 则向量P1P2长度的最大值是 A．2

9、若向量→a＝(cos,sin)，→b＝(cos,sin)，则→a与→b一定满足

A．→a与→b的夹角等于－ B．→a⊥→b

C．→a∥→b

10、已知向量→a＝(cos25,sin25)，→b＝(sin20,cos20)，若t是实数，且→u＝→a＋t→b， 则|→u|的最小值为 A．2

→→＋(→11、O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的三个点，一动点P满足：OP＝OAAB＋→AC)， ∈(0,＋∞)，则直线AP一定通过△ABC的

A．外心 B．内心 C．重心

（ ） D．垂心

B．1

（ ） C．2 2

1D． 2

D．(→a＋→b)⊥(→a－→b)

（ ）

B．3

→

C．32

D．23

（ ）

1

12、已知向量→m＝(sin，2cos)，→n＝(3,－).若→m∥→n，则sin2的值为____________．

2

13、已知在△OAB(O为原点)中，→OA＝(2cos，2sin)，→OB＝(5cos，5sin)，若→OA·→OB＝－5，

则S△AOB的值为_____________.

3π→→→→→→

14、已知向量m＝(1，1)向量n与向量m夹角为，且m·n＝－1.则向量n＝__________．

4

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15、函数f(x)sin2xtanx4cosx1的值域是

16、设函数f(x)a(bc)，其中向量a(sinx,cosx),b(sinx,3cosx)，

c(cosx,sinx),xR．求函数fx的最大值和最小正周期；

17、已知向量 a(cos(x3),1)，b(cos(x1),)，c(sin(x),0) 323函数 f(x)ab， g(x)ac， h(x)abbc

（1）要得到yf(x)的图象，只需把yg(x)的图象经过怎样的平移或伸缩变换？ （2）求h(x)f(x)g(x)的最大值及相应的x．

18、已知向量a(sin,1),b(1,cos),．

22（Ⅰ）若ab，求；（Ⅱ）求ab的最大值．

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1119、已知向量m(asin,)，n(,cos)．

222（1）当a，且mn时，求sin2的值； （2）当a0，且m∥n时，求tan的值．

2

20、已知向量→m＝(sinA,cosA)，→n＝(3,－1)，→m·→n＝1，且A为锐角. (Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)求函数f(x)＝cos2x＋4cosAsinx(x∈R)的值域．

21、已知→a＝(cosx＋sinx，sinx)，→b＝(cosx－sinx，2cosx)，

（Ⅰ）求证：向量→a与向量→b不可能平行；



（Ⅱ）若f(x)＝→a·→b，且x∈[－,]时，求函数f(x)的最大值及最小值．

44

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参考答案

1、C 解：因为ab，所以ab0，可得（x25x）·2+3x·x=0

所以x=0，2，又因为a、b必须为非零向量，所以x=2。

22、C 解：原式等价于(sinxcosx)sinxcosx ，所以sinxcosx0

即 sinxcosx ，结合图像。

3

3、B 解：由数量积的坐标表示知→a·→b＝cos40sin20＋sin40cos20＝sin60＝.

2→→→→AB·ACa·b

4、A 解：因为cos∠BAC＝＝＜0，∴∠BAC为钝角.

→→→→

|AB|·|AC||a|·|b|

31

5、B 解：由平行的充要条件得×－sincos＝0，sin2＝1，2＝90，＝45.

23

3

6、B 解：→a·→b＝sinθ＋|sinθ|，∵θ∈(π，)，∴|sinθ|＝－sinθ，∴→a·→b＝0，∴

2

→a⊥→b． π7、A 解：→c＝→a＋→b＝(6，－4＋2)，代入y＝sinx得，－4＋2＝sin＝1，

1225

解得＝.

2

8、C 解：|P1P2|＝(2＋sinθ－cosθ)＋(2－cosθ－sinθ)＝10－8cosθ≤32. 9、D 解：→a＋→b＝(cos＋cos,sin＋sin)，→a－→b＝(cos＋cos,sin－sin)，

2222

∴(→a＋→b)·(→a－→b)＝cos－cos＋sin－sin＝0，∴(→a＋→b)⊥(→a－→b)．

22222210、C 解：|→u|＝|→a|＋t|→b|＋2t→a·→b＝1＋t＋2t(sin20cos25＋cos20sin25)＝t＋2

→22

t＋1＝(t＋

221→2 12

)＋，|u|min＝，∴|→u|min＝. 2222

→＋AC→＝2AD→，又由OP→＝OA→＋(AB→＋AC)→，→11、C 解：设BC的中点为D，则ABAP＝2→AD，所以→AP与→AD

共线，即有直线AP与直线AD重合，即直线AP一定通过△ABC的重心． 12、－

8312sincos 解：由→m∥→n，得－sin＝23cos,∴tan＝－43，∴sin2＝22＝492sin＋cos

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2tan83

＝－． 2

tan＋149

5313、 解：→OA·→OB＝－510coscos＋10sinsin＝－510cos(－)＝－5cos(－)

2131353＝－，∴sin∠AOB＝，又|→OA|＝2，|→OB|＝5，∴S△AOB＝×2×5×＝．

22222

→→→→→

14、(－1，0)或(0，－1) 解：设n＝(x，y)，由m·n＝－1，有x＋y＝－1 ①，由m与n夹

 x=﹣13π3π→→→→→22

角为，有m·n＝|m|·|n|cos，∴|n|＝1，则x＋y＝1 ②，由①②解得

44 y=0 x＝0→→或 ∴即n＝(－1，0)或n＝(0，－1) ．  y＝－115、解：f(x)2sinxcosxsinx4cosx1=2sin2x4cosx1 cosx2 =2cosx4cosx3=2(cosx1)25

又1cosx1, 且 cosx0 所以f(x)3,33,5

16、解：由题意得，f(x)a(bc)(sinx,cosx)(sinxcosx,sinx3cosx)

sin2x2sinxcosx3cos22cos2xsin2x22sin(2x3)， 4 所以，f(x)的最大值为22，最小正周期是217、解：（1）f(x)ab=cos(x2. 23)1121= 1cos2x 2232=

1217cos2x=sin2x 2326332312g(x)ac=cos(x)sin(x)=sin(2x)

所以要得到f(x)的图象只需把g(x)的图象向左平移（2）h(x)abbc=

即可． 412cos2x－cos(x)sin(x)

3323=

2211121)=cos2xcos2x－sin(2x

2323212第 10 页 共 11 页

当2x111122k ，即xkkZ时，h(x)取得最大值 122420，tan1,(由此得：

sicos18、解：（Ⅰ）若ab，则n22)，所以， 4．

（Ⅱ）由a(sin,1),b(1,cos),得：

ab(sin1)2(1cos)232(sincos)322sin() 4sin()1aba当时，取得最大值，即当时，b的最大值为21．

4422119、解（1）当a时，m(sin,)，

222 mn， 由mn0， 得sincos上式两边平方得1sin22， 211，因此，sin2． 22（2）当a0时，m(sin,1)，由m∥n得sincos11 ．即sin2． 42sin22sincos2tan， tan23或 23． sin2cos21tan21

20、解(Ⅰ)由题意得→m·→n＝3sinA－cosA＝1，2sin(A－)＝1，sin(A－)＝，

662



由A为锐角得A－＝，A＝. 663

11232

(Ⅱ)由（Ⅰ）知cosA＝，所以f(x)＝cos2x＋2sinx＝1－2sinx＋2sinx＝－2(sinx－)＋，

222

13

因为x∈R，所以sinx∈[－1,1]，因此，当sinx＝时，f(x)有最大值．

22

3

当sinx＝－1时，f(x)有最小值－3，所以所求函数f(x)的值域是[－3，]．

221、解（Ⅰ）假设→a∥→b，则2cosx(cosx＋sinx)－sinx(cosx－sinx)＝0，

∴2cosx＋sinxcosx＋sinx＝0， 1＋cos2x11－cos2x

2·＋sin2x＋＝0，

222即sin2x＋cos2x＝－3，

2

2

第 11 页 共 11 页



∴2(sin2x＋)＝－3，与|2(sin2x＋)|≤2矛盾，

44故向量→a与向量→b不可能平行．

（Ⅱ）∵f(x)＝→a·→b＝(cosx＋sinx)·(cosx－sinx)＋sinx·2cosx ＝cosx－sinx＋2sinxcosx＝cos2x＋sin2x ＝2(22cos2x＋sin2x)＝2(sin2x＋)， 224

2

2

3

∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤，∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)有最大值2；

44444428

当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)有最小值－1．

444