2021 初三几何问题之中点问题学案〔无答案〕
几何问题之
—— 中点问题
1、掌握三角形的内角和定理；
2、了解三角形三边的关系，并且能进行简单的应用；
3、学习用三角形边、角的关系进行简单的计算和证明；
4、学习分析问题、解决问题的能力。
知识结构
一、中点有关联想归类：
1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一〞的性质；
2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半〞3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理〞
；
4、两条线段相等， 为全等提供条件 〔遇到两平行线所截得的线段的中点时，
字型〞全等三角形〕 ；
5、有中点时常构造垂直平分线；
6、有中点时，常会出现面积的一半〔中线平分三角形的面积〕
；
7、倍长中线。
二、与中点问题有关的四大辅助线：
1、出现三角形的中线时，可以延长〔简称“倍长中线〞
〕；
2、出现直角三角形斜边的中点，作斜边中线；
3、出现三角形边上的中点，作中位线；
4、出现等腰三角形底边上的中点，构造“三线合一〞 。
三、几何证明之辅助线构造技巧：
1 、假设作一条辅助线，能起到什么作用；
2 、常作那些辅助线能与条件联系更紧密，且不破坏条件。
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；
常联想 “八
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一、根底回忆
1、线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。 2、假设点 C 是线段 AB 的中点，那么：
① 从线段来看： AC BC
1 2
AB ；
② 从点与点的相对位置来看：点
C 在点 A、 B 之间，且点 A、 B 关于点 C 对称。
3、三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点所得的线段叫做三角形的中线。
① 一个三角形有三条中线； ② 每条中线平分三角形的面积；
③ 三角形的三条中线交于一点，每条中线被该点〔重心〕分成 ④ 三角形的三条中线把三角形分成六个面积相等的小三角形。
1:2 的两段；
二、如何延长三角形的中线
1 、延长 1 倍的中线：
如图，线段 AD 是 ABC 的中线，延长线段 AD 至 E ，使 DE AD 〔即延长 1 倍的中线〕，再连接 BE、 CE 。
①总的来说，就可以得到一个平行四边形
ABCD 和两对〔中心选转型〕全等三角形
D 中心对称； EBD ，且每对全等三角形都关于点
CED ， CAD BED ， ABD ECD ， ②详细地说，就是可以转移角： BAD
EBD ， ADB ECD ， ADC EDB ；可以移边： AB EC ，AC EB ； ACD
AB ∥ EC ， AC ∥ EB ；可以构造边长与 AB 、 AC 、 AD 有关的三角 可以构造平行线：
ABD
ECD 、 ACD
形： ABE 、 ACE 。
〔1〕延 k 长倍的中线： 〔 k 0 且 k 1〕
如左〔右〕下列图，
E 为 ABC 中线 AD 〔 DA 延长线〕上的点，延长 点
ED FD
BE
AD至F，使
1
，连接
、 CE 、
BF
、 CF 在平行四边形
. BFCE
中就可以得到类似〔
〕中
的结论。
注意：通常在条件或结论中测及到与
BE 、CE 有关的边与角时， 会用这种辅助线 .
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整体做题思路：
全等三角形
中线倍长 利用性质解决问题平行四边形
例题 1
例 1、如图，
ABC 中，
例题 2
例 2、如图，在 ABC 中，于 F .求证： AF EF 。
AB AC ， AD 是中线 . 求证：
DAC DAB 。
A
B
D
C
D C
E
AD 是 BC 边上的中线， E 是 AD 上一点，且 BE AC ，延长 BE交 ACA
F
E
B
D C
H
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例题 3
例 3、
ABC 中， AB 12， AC 30 ，求 BC 边上的中线 AD 的范围。
A
B
D
C
D C
E
1、如图 1，在 那么 MN 等于〔
A．
ABC 中， AB AC
〕
B．
5 ，BC
6，点M 为 BC 中点，MN
AC于点N，
6
9
C
． 12
D．165
5 5 5
2、如图，
ABC 中， A=90 ， D 为斜边 BC 的中点， E 、 F 分别为 AB 、 AC 上的点，
4，试求 EF 的长。
且 DE
DF ，假设 BE 3， CF
A
E
F
B D C
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3、如图，在 ABC 中， AB＞ AC ， E 为 BC 边的中点， AD 为 BAC 的平分线，过 E 作 AD 的平行线，交 AB 于 F ，交 CA 的延长线于 G 。求证： BF CG 。
4、如下图，
D 为 BC 中点，点 A 在 DE 上，且5/11
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G
A
F
B
E D
C
AB CE ，求证： 1
2 。
备用图
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一、出现直角三角形斜边的中点，作斜边中线 、如图，在 Rt ABC 中， 1 由 ACB
，直角
ACB 所对的边
称为 Rt ABC 的斜边，
ACB 90
CD .
AB
BCA ，过点 C 作 CD 交 AB于点 D ，且 DAC
DAC
ACD ， AD
ACD 。
ACB 90 ，
又
BAC
90 ，
ABC 90 ，
ACD BCD
ABC ， BCD
BD CD ， BD CD AD ，
2、发现线段 CD 为斜边 AB 上的中线，且等于斜边的一半。
3、作斜边中线，可以构造出等腰三角形，从而得到相等的边、相等的角。
4、通常在知道直角三角形斜边的中点的情况下，想到作斜边中线这条辅助线。 二、出现三角形边上的中点，作中位线
1、中位线：连接三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线；也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线；
以上是中位线的两种作法， 第一种可以直接用中位线的性质， 第二种需要说明理由为什么是中位线，再用中位线的性质 .
2、中位线的性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半； 3、中位线辅助线能起到的作用：
① 在线段大小关系上，三角形的中位线是三角形第三边的一半，起着传递线段长度的功能。
② 在位置上，三角形的中位线平行三角形的第三边，起着角的位置转移和计算角的的功
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能。
4、通常在以下两种情况下，会作中位线辅助线：
① 有两个〔或两个以上〕的中点时；
② 有一边中点，并且或求证中涉及到线段的倍分关系时。 熟悉以下两个图形：
例题 4
例 4、如图，在四边形
ABCD 中， AB CD ，点 E 、 F 分别是 BC 、 AD 的中点， BA 、
BGE
CHE 。
CD 的延长线分别交 EF 的延长线 G 、 H 。求证：
例题 5
例 5、：如图， ABC 中， AB AC ，在 AB 上取点 D ，在 AC 延长线上取点 E ，连结DE交BC于点 F ，假设F 是DE中点，求证： BD CE。
A A A
D
D
F
D
C
B
E
F
C
B
E
F
C
B
E
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A
D
B
E
例题 6
例 6、如图， ABC 中， D 是 BC 边的中点， E 是 AD 边的中点，求证： FC 2AF 。
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F
C
连结 BE 并延长交 AC 于点 F 。
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例题 7
7 1-1 例 、如图 ，
Rt ABC
AB
中，
AC
Rt ADE
，在
中，
AD
DE
，连结 EC ，
取 EC 中点 M ，连结 DM 和 BM ，〔1〕假设点 D 在边 AC 上，点 E 在边 重合，如图 1-1 ，求证： BM
AB 上且与点 B 不
DM 且BM DM ；〔 2〕将图 1-1 中的 ADE 绕点 A逆
时针转小于 45 的角，如图 1-2 ，那么〔 1〕中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反
例；如果成立，请给予证明。
图 1-2
图 1-1
、如图， 5
ABC 中，
是 BC 边的中点， BE AC 于点
，假设
，求证：
D E DAC 30
AB DE 。
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A
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30
E
B
D
C
6、如图，正方形
ABCD 中，点 E 、 F 分别是 BC 、 AB 的中点。求证： AG AD 。
A
D
A
D
A
D
F
F F
G
B
C
G
B
G
E
E
C B
E
C
【横向拓展】
7、如图，正方形 CGEF 的边 CG 与正方形 ABCD 的边 BC 在同一直线上〔 连结 AE ，取线段 AE 的中点 M 。探究：线段
CG＞ BC 〕，
MD 、 MF 的关系，并加以证明。
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