经典难题（一）
1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求证：CD＝GF．（初二）
C
E
A
P D
G A
D
O 第1题图
2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150． 求证：△PBC是正三角形．（初二）
3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点．求证：四边形A2B2C2D2是正方形．（初二）
A A2 A1
D1 B1
C1 B2
B 第3题图
C2
C
A M 第4题图
B
D N C D2 D
E F F
B
B
第2题图
C
4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．
经典难题（二）
1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M． （1）求证：AH＝2OM；
（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二）
经典难题 第 1 页 共 38 页
A G E O · C H E B O · D N B M D 第1题图
C M P A 第2题图
Q 2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．（初二） 3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：
设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q． 求证：AP＝AQ．（初二）
E C M P A · · O Q G N E B P A 第3题图
Q 第4题图
B F
C D D
4、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．
求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．（初二）
经典难题（三）
1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F． 求证：CE＝CF．（初二）
经典难题 第 2 页 共 38 页
A F D E F A D B B 第1题图
C 第2题图
C E 2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F． 求证：AE＝AF．（初二）
3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE． 求证：PA＝PF．（初二）
A D F P E B P C E C 第4题图
B O A
D F 第3题图
4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D． 求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）
经典难题（四）
1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5． 求：∠APB的度数．（初二）
A A P D P B B 第1题图
C C 第2题图
2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）
经典难题 第 3 页 共 38 页
3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）
A D F P E C 第4题图
A D B B 第3题图
C 4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且 AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）
经典难题（五）
1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：
A P B C
B 第2题图
A A ≤L＜2．
D P C 第1题图
2、P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值． 3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．
A P D D E B 第3题图
∠EBA＝200，求∠BED的度数．
C B 第4题图
C 4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，
经典难题 第 4 页 共 38 页
经典难题（一）
1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求证：CD＝GF。（初二） 证一：连接OE。
∵EG⊥CO ，EF⊥AB，
∴O、G、E、F四点共圆，且OE为直径。 ∴GF=OE·sin∠GOF。
又△OCD中，CD=OC·sin∠COD。 ∵∠GOF+∠COD=180°， OC= OE为⊙O半径， ∴CD＝GF。
C E
证二：连接OE，过G作GH⊥AB于H。 ∵EG⊥CO ，EF⊥AB，
∴O、G、E、F四点共圆，且OE为直径。 ∴∠GEO=∠HFG。又∠EGO=∠FHG=Rt∠， ∴△GEO∽△HFG。∴GF:OE=GH:OG。 又GH∥CD，∴GH:CD=OG:OC， 即GH:OG=CD:OC，∴GF:OE=CD:OC， 而OE=OC，∴CD＝GF。
C E
G A
D
O
F
B
A
D
G H O
F
B
2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150． A 求证：△PBC是正三角形．（初二） 证明：
D
P E B C
3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点．求证：四边形A2B2C2D2是正方形．（初二）
经典难题 第 5 页 共 38 页
A A2 A1
D2 D1 B1
C1 D
B2
B C2
C
4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．
F E N D A 经典难题（二）
1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M． （1）求证：AH＝2OM；
（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二）
AAFC M B
A O · H E B OM D OC EEBBDHMCHDMFC
经典难题 第 6 页 共 38 页
2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．（初二）
G E C B M
3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：
O · D N
P A Q 设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q． 求证：AP＝AQ．（初二）
E C M P A · · O Q N B D 4、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．
求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．（初二）
D G C E P A Q B F
经典难题 第 7 页 共 38 页
经典难题（三）
1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F． 求证：CE＝CF．（初二）
A F D E B
C 2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F． 求证：AE＝AF．（初二）
F A D B C E
3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE． 求证：PA＝PF．（初二）
A D F B 经典难题 第 8 页 共 38 页
P C E
4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D． 求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）
A P E B O D F C
经典难题（四）
1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5． 求：∠APB的度数．（初二）
A P B
2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA． 求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）
A P B
3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）
经典难题 第 9 页 共 38 页
C D C
A D B
4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且 AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）
A F P E C C D B
经典难题（五）
1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：
≤L＜2．
A P B
经典难题 第 10 页 共 38 页
C
2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．
A D P B
3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．
A P C
D B
经典难题 第 11 页 共 38 页
C
4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300， ∠EBA＝200，求∠BED的度数．
A D E B 经典难题（一）
1.如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得
C EOGOCO==,又CO=EO，所以CD=GF得证。 GFGHCD
2. 如下图做△DGC使与△ADP全等，可得△PDG为等边△，从而可得 △DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150 所以∠DCP=300 ，从而得出△PBC是正三角形
经典难题 第 12 页 共 38 页
3.如下图连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点， 连接EB2并延长交C2Q于H点，连接FB2并延长交A2Q于G点， 由A2E=1AB=1BC= FB2 ，EB2=211211
12AB=1BC=FC1 ，又∠GFQ+∠Q=900和 2∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2 ， 可得△B2FC2≌△A2EB2 ，所以A2B2=B2C2 ， 又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2 , 从而可得∠A2B2 C2=900 ， 同理可得其他边垂直且相等， 从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。
经典难题 第 13 页 共 38 页
4.如下图连接AC并取其中点Q，连接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。
经典难题（二）
1.(1)延长AD到F连BF，做OG⊥AF, 又∠F=∠ACB=∠BHD， 可得BH=BF,从而可得HD=DF，
又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM (2)连接OB，OC,既得∠BOC=1200，
经典难题 第 14 页 共 38 页
从而可得∠BOM=600, 所以可得OB=2OM=AH=AO, 得证。
3.作OF⊥CD，OG⊥BE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。 由于
ADACCD2FDFD====， ABAEBE2BGBG 由此可得△ADF≌△ABG，从而可得∠AFC=∠AGE。
又因为PFOA与QGOA四点共圆，可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ， ∠AOP=∠AOQ，从而可得AP=AQ。
经典难题 第 15 页 共 38 页
4.过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG，CI，FH。可得PQ=
EG+FH。 2 由△EGA≌△AIC，可得EG=AI，由△BFH≌△CBI，可得FH=BI。 从而可得PQ=
AI+BIAB= ，从而得证。 22
经典难题（三）
1.顺时针旋转△ADE，到△ABG，连接CG.
经典难题 第 16 页 共 38 页
由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350
从而可得B，G，D在一条直线上，可得△AGB≌△CGB。 推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC为等边三角形。 ∠AGB=300，既得∠EAC=300，从而可得∠A EC=750。 又∠EFC=∠DFA=450+300=750. 可证：CE=CF。
2.连接BD作CH⊥DE，可得四边形CGDH是正方形。 由AC=CE=2GC=2CH，
可得∠CEH=300，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150，
又∠FAE=900+450+150=1500，
从而可知道∠F=150，从而得出AE=AF。
经典难题 第 17 页 共 38 页
3.作FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出GFEC为正方形。 令AB=Y ，BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。 tan∠BAP=tan∠EPF=
XZ=，可得YZ=XY-X2+XZ， YY-X+Z 即Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得X=Z ，得出△ABP≌△PEF ， 得到PA＝PF ，得证 。
经典难题 第 18 页 共 38 页
经典难题（四）
1. 顺时针旋转△ABP 600 ，连接PQ ，则△PBQ是正三角形。
可得△PQC是直角三角形。 所以∠APB=1500 。
2.作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AE∥DC，BE∥PC. 可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得： AEBP共圆（一边所对两角相等）。 可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得证。
3.在BD取一点E，使∠BCE=∠ACD，既得△BEC∽△ADC，可得：
BEAD=，即AD•BC=BE•AC， ① BCAC 又∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，既得
ABDE=，即AB•CD=DE•AC， ② ACDC 由①+②可得: AB•CD+AD•BC=AC(BE+DE)= AC·BD ，得证。
经典难题 第 19 页 共 38 页
4.过D作AQ⊥AE ，AG⊥CF ，由SADE=
SABCD=SDFC，可得： 2AEPQAEPQ=，由AE=FC。 22 可得DQ=DG，可得∠DPA＝∠DPC（角平分线逆定理）。
经典难题（五）
1.（1）顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上， 即如下图：可得最小L=
；
经典难题 第 20 页 共 38 页
（2）过P点作BC的平行线交AB,AC与点D，F。 由于∠APD>∠ATP=∠ADP， 推出AD>AP ①
又BP+DP>BP ② 和PF+FC>PC ③ 又DF=AF ④
由①②③④可得：最大L< 2 ； 由（1）和（2）既得：
≤L＜2 。
2.顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上， 即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF。
经典难题 第 21 页 共 38 页
既得AF=134+23 +(+1)2 = 2+3= 422 =
2(3+1)2 = (3+1)
226+2 。 2
=
经典难题 第 22 页 共 38 页
3.顺时针旋转△ABP 900 ，可得如下图：
既得正方形边长L = (2+222)+()2a = 5+22a 。 22
经典难题 第 23 页 共 38 页
4.在AB上找一点F，使∠BCF=600 ， 连接EF，DG，既得△BGC为等边三角形，
可得∠DCF=100 , ∠FCE=200 ,推出△ABE≌△ACF ， 得到BE=CF ， FG=GE 。
推出 ： △FGE为等边三角形 ，可得∠AFE=800 ，
既得：∠DFG=400 又BD=BC=BG ，既得∠BGD=800 ，既得∠DGF=400 推得：DF=DG ,得到：△DFE≌△DGE ， 从而推得：∠FED=∠BED=300 。
经典难题 第 24 页 共 38 页
① ②
经典难题（一）
1.如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得
EOGOCO==,又CO=EO，所以CD=GF得证。 GFGHCD
2. 如下图做△DGC使与△ADP全等，可得△PDG为等边△，从而可得 △DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150 所以∠DCP=300 ，从而得出△PBC是正三角形
经典难题 第 25 页 共 38 页
3.如下图连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点， 连接EB2并延长交C2Q于H点，连接FB2并延长交A2Q于G点， 由A2E=1AB=1BC= FB2 ，EB2=211211
12AB=1BC=FC1 ，又∠GFQ+∠Q=900和 2∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2 ， 可得△B2FC2≌△A2EB2 ，所以A2B2=B2C2 ， 又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2 , 从而可得∠A2B2 C2=900 ， 同理可得其他边垂直且相等， 从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。
经典难题 第 26 页 共 38 页
4.如下图连接AC并取其中点Q，连接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。
经典难题（二）
1.(1)延长AD到F连BF，做OG⊥AF, 又∠F=∠ACB=∠BHD， 可得BH=BF,从而可得HD=DF，
又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM (2)连接OB，OC,既得∠BOC=1200，
经典难题 第 27 页 共 38 页
从而可得∠BOM=600, 所以可得OB=2OM=AH=AO, 得证。
3.作OF⊥CD，OG⊥BE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。 由于
ADACCD2FDFD====， ABAEBE2BGBG 由此可得△ADF≌△ABG，从而可得∠AFC=∠AGE。
又因为PFOA与QGOA四点共圆，可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ， ∠AOP=∠AOQ，从而可得AP=AQ。
经典难题 第 28 页 共 38 页
4.过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG，CI，FH。可得PQ=
EG+FH。 2 由△EGA≌△AIC，可得EG=AI，由△BFH≌△CBI，可得FH=BI。 从而可得PQ=
AI+BIAB= ，从而得证。 22
经典难题（三）
1.顺时针旋转△ADE，到△ABG，连接CG.
经典难题 第 29 页 共 38 页
由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350
从而可得B，G，D在一条直线上，可得△AGB≌△CGB。 推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC为等边三角形。 ∠AGB=300，既得∠EAC=300，从而可得∠A EC=750。 又∠EFC=∠DFA=450+300=750. 可证：CE=CF。
2.连接BD作CH⊥DE，可得四边形CGDH是正方形。 由AC=CE=2GC=2CH，
可得∠CEH=300，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150，
又∠FAE=900+450+150=1500，
从而可知道∠F=150，从而得出AE=AF。
经典难题 第 30 页 共 38 页
3.作FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出GFEC为正方形。 令AB=Y ，BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。 tan∠BAP=tan∠EPF=
XZ=，可得YZ=XY-X2+XZ， YY-X+Z 即Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得X=Z ，得出△ABP≌△PEF ， 得到PA＝PF ，得证 。
经典难题 第 31 页 共 38 页
经典难题（四）
2. 顺时针旋转△ABP 600 ，连接PQ ，则△PBQ是正三角形。
可得△PQC是直角三角形。 所以∠APB=1500 。
2.作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AE∥DC，BE∥PC. 可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得： AEBP共圆（一边所对两角相等）。 可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得证。
3.在BD取一点E，使∠BCE=∠ACD，既得△BEC∽△ADC，可得：
BEAD=，即AD•BC=BE•AC， ① BCAC 又∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，既得
ABDE=，即AB•CD=DE•AC， ② ACDC 由①+②可得: AB•CD+AD•BC=AC(BE+DE)= AC·BD ，得证。
经典难题 第 32 页 共 38 页
4.过D作AQ⊥AE ，AG⊥CF ，由SADE=
SABCD=SDFC，可得： 2AEPQAEPQ=，由AE=FC。 22 可得DQ=DG，可得∠DPA＝∠DPC（角平分线逆定理）。
经典难题（五）
1.（1）顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上， 即如下图：可得最小L=
；
经典难题 第 33 页 共 38 页
（2）过P点作BC的平行线交AB,AC与点D，F。 由于∠APD>∠ATP=∠ADP， 推出AD>AP ①
又BP+DP>BP ② 和PF+FC>PC ③ 又DF=AF ④
由①②③④可得：最大L< 2 ； 由（1）和（2）既得：
≤L＜2 。
2.顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上， 即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF。
经典难题 第 34 页 共 38 页
既得AF=134+23 +(+1)2 = 2+3= 422 =
2(3+1)2 = (3+1)
226+2 。 2
=
经典难题 第 35 页 共 38 页
3.顺时针旋转△ABP 900 ，可得如下图：
既得正方形边长L = (2+222)+()2a = 5+22a 。 22
经典难题 第 36 页 共 38 页
4.在AB上找一点F，使∠BCF=600 ， 连接EF，DG，既得△BGC为等边三角形，
可得∠DCF=100 , ∠FCE=200 ,推出△ABE≌△ACF ， 得到BE=CF ， FG=GE 。
推出 ： △FGE为等边三角形 ，可得∠AFE=800 ，
既得：∠DFG=400 又BD=BC=BG ，既得∠BGD=800 ，既得∠DGF=400 推得：DF=DG ,得到：△DFE≌△DGE ， 从而推得：∠FED=∠BED=300 。
经典难题 第 37 页 共 38 页
① ②
经典难题 第 38 页 共 38 页
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