答案 圆锥曲线的综合练习(一)

圆锥曲线的综合练习（一）

1．已知双曲线x－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则

3

2

y2

PA1,·PF2,的最小值为( )

A．－2 C．1

2

81B．－ 16D．0

2．过抛物线y＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A、B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )

A．有且只有一条 C．有且只有三条

B．有且只有两条 D．有且只有四条

x2y2

3．过双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F作与x轴垂直的直线，分别与双曲线、

ab双曲线的渐近线交于点M、N(均在第一象限内)，若FM＝4MN，则双曲线的离心率为( )

5

A. 43

C. 5

5B. 34D. 5

4．已知椭圆＋＝1的焦点是F1，F2，如果椭圆上一点P满足PF1⊥PF2，则下面结论

2516正确的是( )

A．P点有两个

B．P点有四个 D．P点一定不存在

x2y2

C．P点不一定存在

5．已知椭圆C：＋y＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足＋y0≤1，则|PF1|＋|PF2|

22的取值范围为________．

6．直线l：x－y＝0与椭圆＋y＝1相交于A、B两点，点C是椭圆上的动点，则△ABC2面积的最大值为________．

x2

2

x20

2

x2

2

y2

7．设F1，F2分别是椭圆E：x＋2＝1(0b2

A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．

(1)求|AB|；

(2)若直线l的斜率为1，求b的值．

南充一中高2015届数学A层定时作业 使用时间2014年___月____日 班级______ 姓名_____

x2y22

8．已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆上任意一点到右焦点F的距离的

ab2

最大值为2＋1.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知点C(m,0)是线段OF上一个动点(O为坐标原点)，是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B点，使得|AC|＝|BC|？并说明理由．

1．选A 设点P(x，y)，其中x≥1.依题意得A1(－1,0)，F2(2,0)，由双曲线方程得y2

2

2

2

2

＝3(x－1)．PA1,·PF2,＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝(x＋1)(x－2)＋y＝x＋y－x1281222

－2＝x＋3(x－1)－x－2＝4x－x－5＝4x－－，其中x≥1.因此，当x＝1时，

816

PA1,·PF2,取得最小值－2.

2．选B 设该抛物线焦点为F，则|AB|＝|AF|＋|FB|＝xA＋＋xB＋＝xA＋xB＋1＝3＞2p22＝2.所以符合条件的直线有且仅有两条．

ppb2bc3．选B 由题意知F(c,0)，则易得M，N的纵坐标分别为，，由FM,＝4MN,aabcb2b2b4c5222

得＝4·－，即＝.又c＝a＋b，则e＝＝. ac5a3aa

4．选D 设椭圆的基本量为a，b，c，则a＝5，b＝4，c＝3.以F1F2为直径构造圆，可知圆的半径r＝c＝3＜4＝b，即圆与椭圆不可能有交点．

5．解析：当P在原点处时，|PF1|＋|PF2|取得最小值2；当P在椭圆上时，|PF1|＋|PF2|取得最大值22，故|PF1|＋|PF2|的取值范围为[2,22 ]．

答案：[2,22 ]

x－y＝0，2

6．解析：由x2

＋y＝1，2

∴A

得3x＝2，∴x＝±

2

6

， 3

6666

，，B－，－， 3333

43

∴|AB|＝.

3

|2cos θ－sin θ|3

设点C(2cos θ，sin θ)，则点C到AB的距离d＝＝·|sin(θ

22

南充一中高2015届数学A层定时作业 使用时间2014年___月____日 班级______ 姓名_____

－φ) |≤32

，

∴S11433

△ABC＝2|AB|·d≤2×3×2＝2.

答案：2

7．解：(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4， 又2|AB|＝|AF|BF4

2|＋2|，得|AB|＝3.

(2)l的方程为y＝x＋c，其中c＝1－b2

.

y＝x＋c设A(x

，1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组

x2＋y2

b2＝1，

＋2cx＋1－2b2

＝0.

2

则x－2c1－2b1＋x2＝1＋b2，x1x2＝1＋b2.

因为直线AB的斜率为1，

所以|AB|＝2|x，即4

2－x1|3＝2|x2－x1|.

2

2

则8＝(x2

－b8b4

91＋x2)－4x1x2＝＋b22

－

－2b1＋b2

＝＋b22

，

解得b＝

22

. 28．解：(1)∵e＝ca＝

2

a＋c＝2＋1

，∴

a＝2c＝1

，∴b＝1，

∴椭圆的方程为x2

＋y2

2

＝1. (2)由(1)得F(1,0)，∴0≤m≤1. 假设存在满足题意的直线l，

设l的方程为y＝k(x－1)，代入x2

2

2＋y＝1中，得

(2k2

＋1)x2

－4k2

x＋2k2

－2＝0.

2

设A(x，y4k11)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2k2＋1，

2

x2k－21x2＝2k2＋1

，

化简得(1＋b2)x2

南充一中高2015届数学A层定时作业 使用时间2014年___月____日 班级______ 姓名_____

－2k∴y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝2.

2k＋1

k2k设AB的中点为M，则M2，－2.

2k＋12k＋1

∵|AC|＝|BC|，∴CM⊥AB，即kCM·kAB＝－1，

2

k∴

2k＋12

2·k＝－1，即(1－2m)k＝m. 2km－2

2k＋1

，即存在满足题意的直线l； 1－2m2

1

∴当0≤m＜时，k＝± 2

m1

当≤m≤1时，k不存在，即不存在满足题意的直线l. 2