第六章常微分方程数值解法

第六章常微分方程数值解法

第六章 常微分方程数值解法

1. 就初值问题分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达

式，并与准确解

相比较。

2. 用改进的尤拉方法解初值问题 取步长h=0.1计算，并与准确解

相比较。 3. 用改进的尤拉方法解

取步长h=0.1计算，并与准确解

相比较。 4. 用梯形方法解初值问题

证明其近似解为 并证明当时，它原初值问题的准确解。

5. 利用尤拉方法计算积分

在点的近似值。 6. 取h=0.2，用四阶经典的龙格－库塔方法求解下列初值问题：

1）

2）

7. 证明对任意参数t ，下列龙格－库塔公式是二阶的：

8. 证明下列两种龙格－库塔方法是三阶的： 0)0(,=+='y b ax y bx ax y +=

221=<<+=',1)0(;10,y x y x y x e x y 21+--==-+=',0)0(;2y y x x y )5.0(y 12+-+-=-x x e y x ==+',1)0(;0y y y ,22n n h h y ??+-=0→h x e y -=dt e x t ?

022,5.1,1,5.0=x =<<+=',1)0(;10,y x y x y =<<+='.1)0(;10),1/(3y x x y y -+-+=++==++=+).

)1(,)1(();,();,();(213121

321hK t y h t x f K thK y th x f K y x f K K K h y y n n n n n n n n

1）

2）

9. 分别用二阶显式亚当姆斯方法和二阶隐式亚当姆斯方法解下列初值问题：

取计算并与准确解相比较。 10. 证明解的下列差分公式

是二阶的，并求出截断误差的首项。

11. 导出具有下列形式的三阶方法：

12. 将下列方程化为一阶方程组：

1）

2） 3）

13. 取h=0.25，用差分方法解边值问题

14. 对方程可建立差分公式 试用这一公式求解初值问题

验证计算解恒等于准确

解 ++=++==++=+);32,32();3,3();,();3(423121311hK y h x f K K h y h x f K

y

x

f

K

K

K

h

y

y

n

n

n

n

n

n

n

n ++=++==+++=+).43,43();2,2();,();432(923121

3211hK y h x f K K h y h x f K y x f K K K K h y y n n n n n n n n ,0)0(,1=-='y y y ,181.0,0,2.010===y y h )0.1(y x e y --=1),(y x f y =')34(4)(211111-+-+'+'-'++=

n n n n n n y y y h y y y ).(22110221101----+'+'+'+++=n n n n n n n y b y b y b h y a y a y a y ;1)0(,1)0(,023='==+'-''y y y y y ;0)0(,1)0(,0)1(1.02='==+'--''y y y y y y ,,)(,)(2233y x r r y t y r x t x +=-=''-=''.2)0(,0)0(,0)0(,4.0)0(='=='=y y x x ===+''.68.1)1(,0)0(;0y y y y ),(y x f y =''),

,(2211n n n n n y x f h y y y +-=-+==='',0)1()0(;1y y y

15. 取h=0.2用差分方法解边值问题 .2)(2x x x y -==='--=-'-''+.2)1(,1)0()0(;363)1(2y y y x y y x y x