第六章 多元函数微积分课外习题

§6.1 空间解析几何简介

一、填空题

1. M(3,4,12)点到坐标轴的距离为_________；

2. 以点(1,2,3)为球心过(1,2,0)点的球面方程为_________；

3. 将xoy坐标面上的圆x2(y1)22绕oy轴旋转一周所生成的球面方程是___________，且球心坐标是_____________，半径为___________；

x2y2z20表示旋转曲面.，它的旋转轴是_________； 4. 方程2235.方程y2z在平面解析几何中表示__________，在空间解析几何中表示___________； 6. 点(1,2,3)到平面x2y4z0的距离为_________；

7. 过三点M1(1,0,2)，M2(1,0,0)，M3(1,1,0)的平面方程为_________；

x2z218. 在空间直角坐标系中方程9表示_________； 4x209. 曲面xyz在xoz坐标面上的截痕是_________；

22y22z与xoy坐标面的交线是_________； 10. 双曲抛物面x3211. 由曲面zx2y2与zR2x2y2所围成的有界区域用不等式组可表示为

_________；

x2y2z212. 用平面xh去截双叶双曲面2221，所得截痕是__________；若用平

abc面yk(kb)截上述曲面所得截痕是_________ . 二、分别画出下列方程在平面和空间上的图形 （1）yx

222（2）y3

（3）x4y1

三、画出下列各图

（1）yoz坐标面上z2y绕oy轴旋转而成的曲面；

22x2y21； （2）49

22（1） 由xz1,xy1和z0所围立体的表面.

四、作出下列不等式所确定的空间区域

（1）x2y21,z4(x2y2),z0; (2)x24y22z,z2;

(3)2x2y23z216,x0,y0,z0;

五、指出下列方程所表示的曲线

(1) x24y29z236；

y1

(2) y2z24x80y4.



(4)x2y24z24,z2. 六、画出下列曲线在第一卦限的图形：

z4x2y2(1); xy0 .

222xya (2)2 22xza

§6.2 多元函数基本概念

一、填空题

4xy21. 已知z，则它的定义域是_________；

ln(1x2y2)2. 若f(x,y)xyxytan22x，则f(tx,ty)___________； y3. 若f(xy,xy)2x2xy2y2, 则f(x,y)._________；

yx2y24. 若f(x,y)，则f(2,3)________,f(1,)________；

x2xyy22x5. 函数z2的间断点是______________；

y2x6. 若f(xy,)xy, 则f(x,y)_________；

7. 已知f(xy,xy)(x2y)exln(x2y2)，则f(x,y)_________； 8. 函数zln(yx)arcsin(x2y2)的定义域是_________； 9. lim

二、叙述极限limfx,yA的定义.

xx0yy0yx22sinxy1_________； 10. lim(1)xy_________.

x0xxyxyy0y

三、求下列极限（包括非正常极限）

sinx3y3x2y2（1）lim; (2) lim; 22x0xyx0xyy0y0

（3）limx2y2; (4) limxysin1;

22xy001x2y21

（5）limx2y2lnx2y2x; y00

322（7）limxyx4; y00xy2 （9）limsinxyx; y02x

xy00xy(6) limexeyxy00cosxsiny;

lnxey (8) limx22;

y10xy(10) limxy1x44; y00xy （11）limxyxy22exy; (12) limxxy; 22xyyx2

lnxe1（13）lim； （14）lim；

22x1x12xyxyy0y2y

四、叙述并证明二元函数极限的局部有界性定理和局部保号性定理. 五、证明

(x,y)(0,0)limxyxy220.

x2y六、证明：极限lim0不存在.

(x,y)(0,0)x4y2

七、讨论下列函数在0,0点处的连续性

sinxy, y0,（1）fx,y； y0, y0;

sinxy, x2y20,2（2）fx,yxy2；

220, xy0;

22222ylnxy, xy0,（3）fx,y；

220, xy0;

x22, xy0,22p（4）fx,yxy (p0)

220, xy0,

八、若fx,y在某区域G内对变量x连续，对变量y满足利普希茨条件，即对任意

x,y'G和x,y''G，有

fx,y'fx,y''Ly'y''，

其中L为常数，求证fx,y在G内连续.

九、证明：若fx,y分别对每一变量x和y是连续的，并且对其中的一个是单调的，则

fx,y是二元连续函数.

§6.3 偏导数

一、填空题 1. 设zlntanxzz，则； ________,__________yxyzz； ________,__________xy2. 设zexy(xy)，则

3. 设uxyuuu，则； ________,__________,________zxyzy2z2z2z4. 设zaxctan，则2_________,2_________,； ________xxyxyxz2u5. 设u()，则； ________yxy6. 函数z(xy)cos(xy)在(0,1)点处的一阶偏导数是_________； 7. zarctanx，则它的所有二阶偏导数是_________； yyz8. uxy，则此三元函数的所有一阶偏导数是 _________；

9．设f(x,y)在点(a,b)处存在偏导数，则limx0f(ax,b)f(ax,b)_________.

x二、设

122, xy0,ysin22xy f(x,y)0, x2y20.考察函数在(0,0)点的偏导数.

xy22三、设函数f(x，y)xy0x2y20x2y20 , 求fx(0,0)fy(0,0).

xy22, xy022四、 判断函数 f(x，y)xy, 在(0，0)处是否连续

0, x2y20 

3xy,(x,y)(0,0)f(x,y)x2y2五、证明: 函数 在点（0，0）处的偏导数存在，但不0, (x,y)(0,0)连续.

22六、证明函数u xy在(0,0)点连续但偏导数不存在.

七、zf(x,y)exysiny(x-1)arctan

八、求下列函数的所有二阶偏导数

(1) uln

(3) uxsin(xy)ycos(xy)； (3) ue.

xyx, 求fx(1,1)yfy(1,1).

x2y2； (2) uxyy； x九、求下列函数指定阶的偏导数：

6u(1) uxsinyysinx,求33；

xy33

(2) uarctan

xy，求所有三阶偏导数； 1xy3u3u(3) usin(xy),求3，3；

xy22

(4) uxyze

xyzpqru,求pqr； xyzxymnu(5) u (xy)，求mn；

xyxy

mnu(6) uln(axby),求mn.

xy

2u2u十、验证下列函数满足 0.

x2y2(1) uln(x2y2)；

(2) ux2y2；

(3) uexcosy；

(4) uarctan

y. xu2uu2u十一、设函数u(x(y))，证明 . xxyyx2

十二、. ze

11()xy，试化简x2zzy2. xy§6.4 全微分

一、填空题

1. 一元函数的可导与可微是_________的.但对多元函数而言，函数连续以及偏导数存在只是全微分存在的_________条件，而非_________条件； 2. 多元函数可微的充分条件是_________；

3. uxeyzexy，则它的全微分是_________； 4. uxxy22，则在点(1,0)和(0,1)处的全微分是 _________；

5. ux(y1)arcsin二、.求下列函数的全微分

x在点（0，1）处的全微分是 _________. ystx（1）u ； （2）设f(x,y,z)()z，求df(1,1,1)；

sty

（3）zln(1x2y2)，求当x1,y2,x0.1,y0.2的全增量z和全微分

1dz.

三、考察函数f(x,y)在(0,0)点的可微性，其中

122, xy0,xysin22xy f(x,y)0, x2y20.

四、证明函数

x2y22, xy0,22f(x,y)xy

 0, x2y20.在(0,0)点连续且偏导数存在，但在此点不可微.

五、证明函数

122(xy)sin, x2y20,22 xyf(x,y) 0, x2y20.的偏导数存在，但偏导数在(0,0)点不连续，且在(0,0)点的任何邻域中无界，而f在原点(0,0)可微.

1ex(xy), x2y20,22六、设 f(x,y)xy证明f(x,y)在(0,0)点可微，并求df(0,0)．

 0, x2y20,

22

七、设x,y很小，利用全微分推出下列各式的近似公式：

(1) (1x)m(1y)n;

(2) arctan

33八、.计算(1.02)(1.97)的近似值.

xy. 1xy

九、设fx,fy在点(x0,y0)的某邻域内存在且在点(x0,y0)可微，

则有 fxy(x0,y0)fyx(x0,y0).

§6.5 复合函数微分法

一、填空题

1. 设zulnv而u2xzz,v3x2y，则_________,___________； yxydz_________； dt2. 设zarsin(xy)而x3t，则

dueax(yz)________； 3. 设u,而，则yasinx,zcosxdxa21xy),而yex，则4. 设zarctan(5. 设uf(x2y2,exy)，则

dz________； dxuu________,___________； xy6. uf(x,xy,xyz)，则

u________. x二、求下列函数的所有二阶偏导数（f具有二阶连续偏导数）

(1) uf(ax,by)； (2) uf(xy,xy)；

(3) uf(xy2,x2y)； (4) uf(,)；

222(5) uf(xyz)； (6) uf(xy,xy,).

xyyzxy

三、设z

y1z1zz，其中是可微函数，验证. f222f(xy)xxyyy四、设zf(sinx,cosy,e

五、设vxy2z),f具有二阶连续偏导数，求2.

x1rg(t)，c为常数，函数g二阶可导，rx2y2z2.证明：rc2v2v2v12v222. 2xyzct2

六、验证下列各式：

(1) u(xy), 则y

22uux0； xy(2) uy(x2y2), 则y

uuxu； xxyy2u2u2u(3) ux(xy)y(xy), 则2220；

xxyy

22yy2u2u2u(4) ux()(), 则x2xyy0. 22xxxxyy

22z2z七、设f与g有二阶连续导数，且zf(xat)g(xat)，证明：2a. 2tx

§6.6 隐函数微分法

一、填空题

1．设lnxyarctan22ydy________； ，则dxx2．设x2yz2xyz0，则

zz________,______； xy3．设

xzzzln，则________,___________； zyxyzz________,_________； xy4．设zxyz，则

2z5．.设exyz，求=_________.

xyz2z二、.设z3xyza，求.

xy33

三、.设2sin(x2y3z)x2y3z，求

四、求下列方程所确定的函数zf(x,y)的一阶和二阶偏导数：

(1) e

xyzz. xy2zex0； (2) xyzexyz；

(3) xyzxyz； (4) x2y2z22x2y4z50.

五、求由下列方程所确定的函数的全微分dz；

(1) zf(xz,zy)； (2) F(xy,yz,zx)0；

222(3) f(xyz,xyz)0； (4) f(x,y)g(y,z)0.

dzd2z六、设zxy，其中yf(x)为由方程xxyy1所确定的隐函数，求和.

dxdx22222

七、设ux2y2z2，其中zf(x,y)为由方程x3y3z33xyz所确定的隐函数，

u2u求，. xx2

八、设由方程F(xzz,y)0确定zz(x,y)，F具有一阶连续偏导数， yx证明：xzzyzxy. xy

九、设xx(y,z),yy(z,x),z(x,y)，都是由方程F(x,y,z)0所确定的有连续偏导

数的函数，证明：

xyz1. yzx§6.7 多元函数的极值

一、填空题

1．zx2y22xy4xgyz驻点为_____________；

2．f(x,y)4(xy)x2y2的极____ _值为_______________； 3．f(x,y)e2x(xy22y)的极______值为_________________； 4．zxy在约束条件xy1下的极大值为____________________；

22225．uf(x,y)xxy在Dx,yxy1上的最大值为_____________，

最小值为______________.

二、下列函数的极大值点和极小值点：

(1) f(x,y)(xy1)2; (2) f(x,y)3axyx3y3(a0);

三、求下列函数在指定范围D内的最大值和最小值：

(1) f(x,y)xy,D{(x,y)|xy4};

(2) f(x,y)xxyy,D{(x,y)||x||y|1};

222222

四、求证：f(x,y)xy11在0x,y有最小值，无最大值. xy

五、求下列隐函数的极大值和极小值：

(1) (xy)2(yz)2(zx)23；

(2) z2xyzx2xy290.

六、有一块铁片，宽b24cm，要把它的两边折起做成一个槽，使得容积最大，求每边的倾角和折起的宽度x(见下图).

七、求下列函数在所给条件下的极值：

(1) fxy，若x2y21； (2) fx2y2，若xy10；

(3) fx2y2z，若x2y2z21； (4) f1x1y，若xy2；

(5) fxyz，若x2y2z21，xyz0.

八、求函数z12(xnyn)在条件xy(ll0,n1)之下的极值，并证明：a0,b0,n1时abnanbn22.

当

九、求体积一定而表面积最小的长方体.

十、长为a的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆. 这两段的长各为多少时，它 们所围正方形面积和圆面积之和最小?

十一、求x0,y0,z0时函数f(x,y,z)lnx2lny3lnz在球面

abcxyz6r上的极大值. 证明a,b,c为正实数时，abc108.

62222623

十二、某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养x（万尾），乙种鱼放养y（万尾），收获时两种鱼的收获量分别为(3xy)x,(4x2y)y,(0)，求使产鱼总量最大的放养数.

§6.8 多重积分的概念与性质

一、填空题

1．当函数f(x,y)在闭区域D上_________时，则其在D上的二重积分必定存在； 2．二重积分

f(x,y)d的几何意义是_____________________________________；

D3．若f(x,y)在有界闭区域D上可积，且DD1D2，当f(x,y)0时，则

f(x,y)d_____________f(x,y)d；

D1D2当f(x,y)0时，则

f(x,y)d_____________f(x,y)d；

D1D24．

22222，其中是圆域的面积，xy4sin(xy)d______________D16（注：填比较大小符号）.

二、用二重积分定义计算

xydxdy, D:0Dx1,0y 1.

三、比较下列积分的大小：

(1) I1(xy)D2d与I2(xy)3d其中积分区域D是由x轴，y轴与直线

Dxy1所围成.

(2) I12与ln(xy)dIln(xy)2d，其中 DDD(x,y)3x5,0y1.

四、确定下列积分的符号:

（1) （3)

xy1ln(x2y2)dxdy （2）

1x2y2431x2y2dxdy

0x1x1y1xarcsin(xy)dxdy.

五、估计下列积分的值

（1）I

（2）I

六、利用中值定理估计积分

xy(xy1)d，其中D(x,y)0x1,0y2;

D(xD24y29)d，其中D(x,y)x2y24.

Idxdy之值. 22100cosxcosyxy10

七、求二重积分

x2y211x2y2d.

八、若f(x,y)在D上可积，那么f(x,y)在D上是否可积？考察函数

1, 若x，y是有理数,f(x,y)

1, 若x，y至少有一个是无理数,在[0,1]×[0,1]上的积分．

§6.9 二重积分的计算法

一、填空题

1．2．

(xDD3 0x1,0y1； 3x2yy3)d______________ 其中D：(0,0),(,0),(,)的三角

（xcos(xy)d___________其中D：顶点分别为

形闭区域；

3．将二重积分

f(x,y)d，其中D是由x轴及上半圆周xD2y2r2(y0)所围成

的闭区域，化为先y后x的积分，应为__________________________________； 4．将二重积分

Df(x,y)d，其中D是由直线yx,x2及双曲线y1(x0)所x围成的闭区域，化为先x后y的积分，应为_____________________________； 5．将二次积分6．将二次积分

 2 1  dx2xx2 2xsinxx2 f(x,y)dy改换积分次序，应为______________________；

0 dx -sinf(x,y)dy改换积分次序，应为______________________；

7．将二次积分

 1 e dy2 2 -lnyf(x,y)dx 12 1dy 2 (y1)2f(x,y)dx改换积分次序，应为

_________________； 8．将二次积分

 1 0 dy2y 0f(x,y)dxdy 1 3 3y 0f(x,y)dx，改换积分次序，应为

________________.

9．将下列二重积分表示为极坐标形式的二次积分

①

2xy22xy； f(x2y2,arctan)dxdy_________________x22②D(x,y)1xy4,yx,eDx2y2dxdy____________.

10．化下列二次积分为极坐标系下的二次积分

①②

 2a 0 1dx1 02axx2 0f(x2y2)dy____________,(a0);

 0dxf(x2y2)dy________________;

③④

 2 0dx 3x xyf(arctan)dy________________;

x 1 0dxf(x,y)dy________________.

0x2二、设f在区域D上连续,将二重积分

f(x,y)dxdy化为不同顺序的累次积分:

D(1) D由不等式x2y2a2与xya(a0)所确定的区域;

(2) D以(0,1),(1,1),(1,1)为顶点的三角形内部.

三、在下列积分中改变积分的次序: (1) (3)

四、计算下列二重积分： (1)

20dx2xxf(x,y)dy； (2)dxx26422x1f(x,y)dy；

11dx1x21x2f(x,y)dy (4)dy0132yyf(x,y)dx

D1x2y2dxdy,其中D是由曲线yx2与直线yx所围成的闭区域;

(2) (3) (4) （5）

DR2x2y2d,其中D是由圆周x2y2Rx所围成的闭区域;

Dx2y22d,其中(2) D:x2y23;

Dx2y2dxdy，其中D:x2y2a2.

eDyxydxdy，其中D:x0,y0,xy1.

五、对连续函数f(x,y)证明:.

六、计算下列二重积分： 1） 2） 3）

七、交换积分次序，证明：

dxabxaf(x,y)dydyf(x,y)dx,(ab).

aybb22y2px与直线x其中D由抛物线xydxdyDp(p0)所围成; 222(xy)dxdy其中D{(x,y)0x1,xy2x}; DDyx2dxdy,其中D{1x1,0y2}.

a 0dyem(a-x)f(x)dx(ax)em(ax)f(x)dx.

00ya

八、求由曲面zx22y2及z62x2y2所围成的立体的体积.

九、计算二重积分

2222，其中D由不等式yRx,xyR,y0确定 (yx)dD（注意选用适当的坐标）.

十、利用二重积分，计算下列曲面所围成的立体体积. （1）zxy,z6,x0,y0,z0;

x2y2z2（2）2221.

abc

第六章 复习题

一、填空题

1．f(xy,xy)x2yy2,f(x,y)_______； 2．函数zxyln(xy)的定义域为__________；

x3．设zarccot(xy),ye,4．设z(1x)xy，则

dz______________； dxzz_________，___________； xy5．设zarctanyx2arccot ，dz|(1,1)_________； xy6．设z1f(xy)y(xy),f,具有一阶连续导数， x则

zz_______,__________； yy7．设zz(x,y)由方程yzx2z所确定，则dz_________；

xy8．设zf(x,y)由方程earctanzxyz0确定，则

z________. x二、选择题 1．函数z1yln(x)2x的定义域是（ ）；

A、xy0 B、xy0 C、xy1 D、xy1

2．若函数f(x,y)在点p(x,y)处（ ），则f(x,y)在该点处可微； A、连续 B、偏导数存在

C、连续且偏导数 D、某邻域内存在连续的偏导数 3．设zf(x,y)g(x)，其中f,g均为可微函数，则

A、fg B、fxg C、fxg D、fxgfg 4．设xln'''

z（ ）； xzz（ ） ，则xy A、1 B、e C、yex D、y 5．对于函数f(x,y)x2y2，点(0,0)（ ）；

A、不是驻点 B、是驻点而非极值点 C、是极大值点 D、是极小值点 6．对函数f(x,y)xy，点(0,0)（ ）；

A、不是驻点 B、是驻点却非极值点 C、是极大值点 D、是极小值点 7．二元函数z5x2y2的极大值点是（ ）；

A、(1,0) B、(0,1) C、(0,0) D、 (1,1) 8．u3(xy)x3y3的极值点是（ ）.

A、(1,1) B、(1,2) C、(1,2) D、(1,2)

x4xy22,xy0229．函数 f(x,y)xy在原点间断，是因为该函数（ ）；

0,x2y20A、在原点无定义 B、在原点二重极限不存在

C、在原点有二重极限，但无定义 D、在原点二重极限存在，但不等于函数值

2z10．设 z2x3xyy，则（ ）.

xy22A、6 B、3 C、-2 D、2

三、计算下列各题 1．设ze

2．.设z(1x)arcsin(xy)，求

y3x2y，xsint,yt，求

3dz； dtzz,； xy

3． zxf(xy,ey)，求dz；

4．.设方程 x2y2z23xyz0确定了隐函数zz(x,y)，求

四、证明下列各题：

z. xzza; （1）若zf(axby), 则 bxy

zz1y; （2）若zln(nxny), 且n2, 则xxyn

2z2z（3）若zlnxy , 则220;

xy22

（4）若uln(tanxtanytanz), 则

五、求下列复合函数的指定的偏导数：

∂ u∂ u∂ usin2xsin2ysin2z2. ∂ x∂ y∂ z3u（1）uf(xyz),；

xyz222

y2z2z（3）zf(x,),2,2.

xxy

六、（1）求函数f(x,y)xy2lnx2lny的极值.

（2）求函数在给定条件下的条件极值：f(x,y,z)xyz,x22y23z26.

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七、计算下列积分 （1）

10dxxxsinydy； yy（2）dxdy, D是由y1x2,yx,y0所围成且x0；

xD （3）

八、利用二重积分计算下列曲线所围成的区域的面积

2222ln(1xy)dxdy, D:xy1,x0,y0. D2（1）x

y3,xy3 ； （2）ysinx,ycosx,4x5. 4九、利用二重积分，计算下列曲面所围成的立体体积. （1）x2y3z1,x0,y0,z0;

（2）yx2,xy2,z0,z12yx2.