九年级上学期期中考试数学试题

期中考试

一、选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分。每小题只有一个正确选项）

1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

2．已知a，b是方程x2＋x－3＝0的两个实数根，则a2－b＋2019的值是( )

A. 2023

B. 2021

C. 2020

D. 2019

3．在平面直角坐标系XOY中，点A的坐标是（－2，1）,连接OA，将线段OA绕原点O旋转180°，得到对应线段OB，则点B的坐标是（ ） A．（2，－1）

B．（2，1）

C．（1，－2） D．（－2，－1）

4．如图，将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置，若∠AOB＝40°，则∠AOD＝( )

A. 45°

B. 40°

C. 35°

D. 30°

5．将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为( ) A.y＝2(x＋2)＋3 B.y＝2(x－2)＋3 C.y＝2(x－2)－3 D.y＝2(x＋2)－3 6. 已知抛物线yax2ax3a(a0)，下列结论中不一定成立的是( )

A. 该抛物线的顶点坐标为（1，－4a） B. 该抛物线被x轴截得的线段的长为4 C若抛物线经过点（－2，5），则一定经过点（4，5） D. 当x>1时,y随x的增大而增大

22

2

2

2

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7．方程x(x－2)＝x－2的解为 ；

8. 抛物线y＝－3x2＋6x＋2的对称轴为直线： ；

第4题图 第10题图 第11题图

9.《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问长及阔各几步”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为 ； 10.抛物线y＝ax＋bx＋c的部分图象如图所示，则当y＞0时，x的取值范围是 ；

2

11．如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AE,直角边AC绕点A逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AF,连接EF。若AB=3，AC=2，且αβ∠B，则EF= ； 12．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AD在y轴正半轴上，边BC在第一象限，且点A（0，3）、B（5，3）,将正方形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°），若点B的对应点B′恰好落在坐标轴上，则点C的对应点C′的坐标为 .

三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13．（1）解方程: 2x+1＝3x； （2）将二次函数y

14.已知抛物线y＝ax＋bx＋c的图象经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，求该抛物线的解析式。

15.定义运算：m*nmn2-mn-1。例如：4*24×22-4×2-17。试判断方程1x0的根的情况，并说明理由。

16.某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个。 (1)求口罩日产量的月平均增长率；

(2)按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？

22

21233xya配方成(xh)k的形式． 2x2

17．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，将△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°得到△DEF，点A，B，C的对应点分别是点D，E，F.请仅用无刻度的直尺分别在下面图中按要求画出相应的点(保留画图痕迹)． ．．．．．．(1)如图①，当点O为AC的中点时，画出BC的中点N；

(2)如图②，旋转后点E恰好与点C重合，点F落在AC上，点N是BC的中点，画出旋转中心O。

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18. 已知关于x的方程kx2-3x+1=0有实数根. (1)求k的取值范围;

(2)若该方程有两个实数根,分别为x1和x2,当x1+x2+x1x2=4时,求k的值.

19.如图,在正方形ABCD内部有一点P,若∠APD=135°,探究图中线段PA,PB,PD之间的数量关系.

解法探究：小慧同学通过思考，得到如下解题思路：将△ADP绕点A顺时针旋转90°得到△ABP',连接PP'。先证明△APP'是等腰直角三角形,再证明△PP'B是直角三角形,从而可得结论。 请先写出小慧同学得出的结论，并在小慧的解题思路的提示下，写出所得结论的理由。

2

20. 已知抛物线y＝2x－4x＋c与x轴有两个不同的交点.

(1)求c的取值范围；

(2)若抛物线y＝2x2－4x＋c经过点A(2，m)和点B(3，n)，试比较m与n的大小，并说明理由.

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21.物价问题涉及民生，关系全局，为保证市场秩序稳定，某超市积极配合市场运作，诚信经营。据了解，该超市每天调运一批成本价为8元/千克的大蒜，以不超过12元/千克的单价销售，且每天销售大蒜的数量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示。

(1)求出每天销售大蒜的数量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系式； (2)该超市将大蒜销售单价定为多少元时，每天销售大蒜的利润可达到318元； (3)求该超市大蒜销售单价定为多少元时，每天销售大蒜的利润最大，并求出最大利润。

22．如图①，正方形ABCD的边长为4，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转α（0°＜α≤90°）得到正方形AEFG，连接BE并延长交CF于点O，连接AC,AF。

(1)旋转角α与∠OBC的数量关系是________,∠OBC与∠OEF的数量关系是________； (2)猜想：在旋转过程中，OC与OF的数量关系是什么？请证明你的结论； (3)如图②，当α=45°时，求△BCH的面积。

六、（本大题12分）

23．抛物线C1：y1x12t(x1)(t1)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)。

(1)①填空：当t2时，点A的坐标为________,点B的坐标为________；当t0时，点A的坐标为________,点B的坐标为________；

②随t值的变化,抛物线C1是否会经过某一个定点，若会，请求出该定点的坐标；若不会，请说明理由； (2)若将抛物线C1经过适当平移后，得到抛物线C2：D(m,n),E(m+2,n),求抛物线C2的解析式；

2(3)设抛物线C1的顶点为P，当t0，△APB为直角三角形时，求方程x12t(x1)0(t1)的根

2y2(xt)t1，A,B的对应点分别为

2。

九年级数学期中考试参考答案

一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项. 1.C 2.A 3.A 4.D 5.B 6.D

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

7.x1=2，x2=1 8.x＝1 9.x(x12)864 10.－1＜x＜3 11.13 12.(7,4)或(5,－2)或(－1,－4)．

三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13.解：（1）∵2x﹣3x+1＝0，

∴（2x﹣1）（x﹣1）＝0，∴x1＝，x2＝1；[来

21231231y(6x)(6x99)3。 （2）(x3)xx222222

14．解：∵抛物线y＝ax＋bx＋c的图象经过A(－1，0)、B(3，0)两点， ∴设ya(x1)(x3)，把点C(0，3)代入得：3a3，解得：a1 ∴抛物线的解析式为y(x1)(x3)15.解：有两个不相等的实数根．理由如下： ∵1x0，∴∴22

x2x3。

2xx10，∴a1,b1,c1，

2b4ac141(1)50

(x1)2∴原方程有两个不相等的实数根．

16.解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x,依题意得：20000解得：x0.1或-2.1（舍去），∴x0.110％。

（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为：24200(10.1)26620个。 17. 解：(1)如解图①，点N即为所求；(2)如解图②，点O即为所求．

24200，

图① 图②

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18.解:(1)当k=0时,原方程为-3x+1=0,有实数根,∴k=0符合题意.（1分） 当k≠0时,原方程为一元二次方程. ∵该一元二次方程有实数根, ∴Δ=(-3)-4×k×1≥0, 解得k≤29.（3分） 49.（4分） 4综上所述,k的取值范围为k≤(2)∵x1和x2是方程kx2-3x+1=0的两个实数根, ∴x1+x2=31, x1x2=. kk∵x1+x2+x1x2=4, ∴314,解得k=1. kk经检验,k=1是分式方程的解,且符合题意, ∴k的值为1.8分） 22219.解:2PAPDPB.

理由如下:

如图,把△ADP绕点A顺时针旋转90°得到△ABP',连接PP',则P'B=PD,P'A=PA,∠PAP'=90°, ∴△APP'是等腰直角三角形, ∴PP'2=PA2+P'A2=2PA2,∠PP'A=45°. ∵∠APD=135°,∴∠AP'B=∠APD=135°, ∴∠PP'B=135°-45°=90°.

在Rt△PP'B中,由勾股定理得,PP'2+P'B2=PB2,

222∴2PAPDPB.

20.解：(1)∵b－4ac＝(－4)－8c＝16－8c，

由题意，得b2－4ac>0，∴16－8c>0. ∴c的取值范围是c<2； (2)m∵抛物线的对称轴为直线x＝1， 又∵a＝2>0，

∴当x≥1时，y随x的增大而增大． ∵2<3. ∴m五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

22

21. 解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，

9kb110k2将(9，110)，(10，108)代入，得解得，

10kb108b128∴y与x之间的函数关系式为y＝－2x＋128(8≤x≤12)；

(2) 根据题意得：(x－8)y＝(x－8)(－2x＋128)＝318，解得x＝11或61（舍去），∴x＝11。 即：超市将大蒜销售单价定为11元时，每天销售大蒜的利润可达到318元；

(3) 设每天的销售利润为W(元)，则W＝(x－8)y＝(x－8)(－2x＋128)＝－2(x－8)(x－64) ∵a＝－1<0， ∴当x864即x<36时，W随x的增大而增大， 2∵8≤x≤12，

∴当x＝12时，W取得最大值，最大值为416.

答：当超市大蒜销售单价定为12元时，每天销售大蒜的利润最大，最大利润是416元． 22.解：（1）α=2∠OBC,∠OBC=∠OEF；（2分） （2）OC=OF.理由如下：过点F作FM⊥BO于M, 过点C作CN⊥BO于N,

∵∠OBC=∠OEF,∠BNC＝∠EMF＝90°,BC＝EF， ∴△BCN≌△EFM,∴NC＝FM.

∵∠CON=∠FOM,∠ONC＝∠EMF＝90°, ∴△OCN≌△OFM,∴OC=OF； （6分） （2）当α=45°时，AF与AD重合。

∵正方形的边长为4,∴AF42,DF424． ∴△CDF的面积为：

11DF•CD(424)4828 22∵AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝∠ACD＝45°,∴∠ABE＝∠ACF＝67.5°, ∴∠OBC=90°－∠ABE＝22.5°,∠DCF=∠ACF－45°＝22.5°.∴∠OBC=∠DCF. ∵∠BCH＝90°＝∠CDF,BC＝DC，

∴△BCH≌△CDF,∴△BCH的面积面积CDF的面积=828（9分） 六、（本大题共1个小题，共12分）

23.解：（1）①(－5，0)(1，0);(－1，0)(1，0);（2分） ②会。由x10得x1，代入得

y10，

∴抛物线C1会经过一个定点，定点为(1，0)；（4分） （2）由

x12t(x1)0得x1,x1222t1,∴AB(2t1)12t2，

∵A,B的对应点分别为D(m,n),E(m+2,n),∴AB＝CD=m+2－m=2, ∴

解得t=0或t=2.∴抛物线C2的解析式为：

(3)由（2）得抛物线C1的

∴顶点P为 t1(t12)0

∵△APB为直角三角形，由抛物线的轴对称性得： ∵t1，∵t0，

22t22yx221或y(x2)12212t1xt2(t,(t1))2对称轴为：

(t1)22t1t120∴解得，t=3或－1。

∴t=3.

x12t(x1)0(t1)∴方程的根为： （12分)

x1,x123