数学中的e

数学中的e

e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274

现在人们可以将它精确到小数点后2000位，

这里的e是一个数的代表符号，而我们要说的，便是e的故事。这倒叫人有点好奇了，要能说成一本书，这个数应该大有来头才是，至少应该很有名吧？但是搜索枯肠，大部分人能想到的重要数字，除了众人皆知的0及1外，大概就只有和圆有关的π了，了不起再加上虚数单位的i=√-1。这个e究竟是何方神圣呢？

在高等数学里，大家都学到过对数（logarithm[ˈlɔ:gəˌrɪðəm]）的观念，也用过对数表。教科书里的对数表，是以10为底的，叫做常用对数（common logarithm）。课本里还提到，有一种以无理数e=2.71828……为底数的对数，称为自然对数（natural logarithm），有一个著名的极限数列或函数f(n)=(1+1/n)^n当n→∞时=e的结果就是e，这里的e，正是我们故事的主角。不知这样子说，是否引起你更大的疑惑呢？在十进位制系统里，用这样奇怪的数为底，难道会比以10为底更「自然」吗？更令人好奇的是，长得这麼奇怪的数，会有什麼故事可说呢？

这就要从古早时候说起了。至少在微积分发明之前半个世纪，就有人提到这个数，所以虽然它在微积分里常常出现，却不是随著微积分诞生的。那麼是在怎样的状况下导致它出现的呢？一个很可能的解释是，这个数和计算利息有关。

我们都知道复利计息是怎麼回事，就是利息也可以并进本金再生利息。但是本利和的

多寡，要看计息周期而定，以一年来说，可以一年只计息一次，也可以每半年计息一次，或者一季一次，一月一次，甚至一天一次；当然计息周期愈短，本利和就会愈高。有人因此而好奇，如果计息周期无限制地缩短，比如说每分钟计息一次，甚至每秒，或者每一瞬间（理论上来说），会发生什麼状况？

本利和会无限制地加大吗？答案是不会，它的值会稳定下来，趋近於一极限值，而e这个数就现身在该极限值当中（当然那时候还没给这个数取名字叫e）。所以用现在的数学语言来说，e可以定义成一个极限值，但是在那时候，根本还没有极限的观念，因此e的值应该是观察出来的，而不是用严谨的证明得到的。

包罗万象的e

大家恐怕已经在想，光是计算利息，应该不至於能专门为一个奇怪的数值起个名字吧？当然不，利息只是极小的一部分。令人惊讶的是，这个与计算复利关系密切的数，居然和数学领域不同分支中的许多问题都有关联。在讨论e的源起时，除了复利计算以外，事实上还有许多其他的可能。问题虽然都不一样，答案却都殊途同归地指向e这个数。比如其中一个有名的问题，就是求双曲线y=1/x底下的面积。双曲线和计算复利会有什麼关系，不管横看、竖看、坐著想、躺著想，都想不出一个所以然对不对？可是这个面积算出来，却和e有很密切的关联。

e是一个奇妙有趣的无理数，它取瑞士数学家欧拉Euler的英文字头。 欧拉首先发现此数并称之为自然数。它还有个较鲜见的名字叫纳皮尔Napier常数，假如你曾在数学课上被对数苦恼过，一定想知道誰是「始作俑者」吧？没错，就是这位苏格兰数学家约翰·纳皮尔（John Napier）先生引进了对数。另外，他还发明了第一个对数表。大家也许没有听说过？这很正常，我也是上网搜索e的资料的时候才认识他的。重要的是要下一个问题。

你知道纳皮尔花了多少时间来建构整个对数表吗？请注意这是发生在十六世纪末、十七世纪初的事情，别说电脑和计算机了，根本是什麼计算工具也没有，所有的计算，只能利用纸笔一项一项慢慢地算，而又还不能利用对数来化乘除为加减，好简化计算。因此纳皮尔整整花了二十年的时间建立他的对数表，简直是匪夷所思吧！试著想像一下二十年之间，每天都在重复做同类型的繁琐计算，这种乏味的日子绝不是一般人能忍受的。但纳皮尔熬过来了，而他的辛苦也得到了报偿--对数（尤其是以e为底的自然对数ln）受到了热切的欢迎，许多欧洲甚至中国的科学家都迅速采用，连纳皮尔也得到了来自世界各地的赞誉。最早使用对数的人当中，包括了大名鼎鼎的天文学家刻卜勒（Kepler），他利用对数，简化了行星轨道的繁复计算。

e的「影响力」其实还不限於数学领域。大自然中太阳花的种子排列、鹦鹉螺壳上的花纹都呈现螺线的形状，而螺线的方程式，是要用e来定义的（r=eαθ）。建构音阶也要用到e，而如果把一条链子两端固定，松松垂下，它呈现的形状若用数学式子表示的话，也需要用到e（y=ach（x/a）悬链线）。这些与计算利率或者双曲线面积八竿子打不著的问题，居然统统和e有关，多么奇妙的e啊？

其实我们每个人的成长过程中都学到过不少数学知识，但是在很多人心目中，数学似乎是门无趣甚至可怕的科目。尤其到了大学的微积分，到处都是定义、定理、公式，令人望之生畏。我们会害怕一个学科的原因之一，是有距离感，那些微积分里的东西，好像不知是从哪儿冒出来的，对它毫无感觉，也觉得和我毫无关系。如果我们知道这些东西（比如说这个常数e）是怎麼演变、由谁发明的，而发明之时还发生了些什麼事，发明者又是什麼样的人等等，这种距离感就应该会减少甚至消失，数学就不再是如此可怕了。