1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征

高一 数学 导学案

编号：B2-2 课型：新授课 编制人： 李震 审核人： 李震 年级主任： 班级： 姓名： 课题：1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征 【学习目标】 个性笔记 1.认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构． 2．掌握正棱柱、正棱锥、正棱台的结构特征，区分与一般棱柱、棱锥、棱台的关系． 【学习内容】 1．多面体 (1)多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体． (2)多面体的元素 ①围成多面体的各个_________叫做多面体的面． ②相邻的两个面的___________叫做多面体的棱． ③棱和棱的_________叫做多面体的顶点． ④连接不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的___________． (3)凸多面体 凸多面体：把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体． (4)多面体的截面 一个几何体和一个平面________所得到的平面图形(包含它的内部)，叫做这个几何体的________． 2．棱柱 (1)定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的交线都 _________，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的_________，相邻侧面的公共边叫做棱柱的__________；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的__________．棱柱中不在同一面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线． (2)棱柱的分类 ①按底面多边形的边数分类 底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… ②按侧棱与底面的关系分类 侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱； 侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱； 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱． (3)特殊的四棱柱 ①底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体； ②侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体； ③底面是矩形的直平行六面体是长方体； ④棱长都相等的长方体是正方体． 3．棱锥 (1)定义：一般地，有一个面是___________，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥． 棱锥中的____________叫做棱锥的底面． 棱锥中有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的侧面． 第 1 页 共 4 页

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_____________________叫做棱锥的侧棱． 棱锥中各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点． 如果棱锥的底面水平放置，则顶点与过顶点的铅垂线和底面的交点之间的线段或距离，叫做棱锥的高．棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面． (2)棱锥的分类 ①按底面边数分类 底面为三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……其中三棱锥又叫___________． ②正棱锥 如果棱锥的底面是正多边形，并且水平放置，它的顶点又在过正多边形中心的铅垂线上，则这个棱锥叫做正棱锥． 正棱锥侧面等腰三角形底边上的高，叫做_______________________． 4．棱台 (1)定义：底面水平放置的棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台． 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的__________ _________． 棱台中除上、下底面以外的面叫做棱台的____． 相邻两侧面的公共边叫做棱台的__________． 当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱台的_________． (2)正棱台 ①定义：由___________截得的棱台叫做正棱台． ②棱台的斜高：正棱台的各侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高． 【例题讲解】 考点一、棱柱、棱锥、棱台的概念 例1、给出下列几个命题： ①棱柱的侧面都是平行四边形； ②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点； ③多面体至少有四个面； ④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点． 其中，假命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 跟踪训练1 下列命题中正确的是( ) A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C．在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面 D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形 考点二、侧面展开图及棱柱的有关运算 例2、长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，BC＝4，BB1＝3，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线． 第 2 页 共 4 页

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跟踪训练2 经过长方体同一个顶点的三个面的对角线长分别是a、b、c，那么这个长方体的体对角线长是________． 例3、如图所示，侧棱长为23的正三棱锥V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过A作截面AEF，求截面△AEF周长的最小值． 跟踪训练3 正四棱锥S－ABCD的高为3，侧棱长为7.(1)求侧面上的斜高；(2)求一个侧面的面积；(3)求底面的面积． 考点三、棱台中有关量的计算 203例4、如图正三棱台ABC－A1B1C1中，已知AB＝10，棱台一个侧面的面积为，O1、O分别3为上、下底面正三角形的中心，D1D为棱台的斜高，∠D1DA＝60°，求上底面的边长． 跟踪训练4 已知正四棱台的上、下底面面积分别为4、16，一侧面面积为12，分别求该棱台的斜高、高、侧棱长． 【课内练习】 1．在下列立体图形中，有5个面的是( ) A．四棱锥 B．五棱锥 C．四棱柱 D．五棱柱 2．如图所示的长方体，将其左侧面作为上底面，右侧面作为下底面，水平放置，所得的几何体是( ) A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥组合体D．无法确定 3．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．棱柱的侧面是________形，棱锥的侧面是________形，棱台的侧面是________形． 5．在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，沿AE、AF、EF将其折成一个多面体，则此多面体是________． 【课后练习】 1．下列命题正确的是( ) A．斜棱柱的侧棱有时垂直于底面 B．正棱柱的高可以与侧棱不相等 C．六个面都是矩形的六面体是长方体 D．底面是正多边形的棱柱为正棱柱 2．将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体为( ) A．棱柱 B．棱台 C．棱柱与棱锥的组合体 D．不能确定 3. 如图所示，正四棱锥S－ABCD的所有棱长都等于a，过不相邻的两条棱SA，SC作截面SAC，则截面的面积为( ) 311A.a2 B．a2 C.a2 D.a2 2234．若要使一个多面体是棱台，则应具备的条件是( ) A．两底面是相似多边形B．侧面是梯形C．两底面平行D．两底面平行，侧棱延长后交于一点 5．若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是( ) A．正三棱锥 B．正四棱锥C．正五棱锥 D．正六棱锥 6．已知正四棱锥的侧棱长是底面边长的k倍，则k的取值范围是( ) 第 3 页 共 4 页

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12A．(0，＋∞) B．(，＋∞) C．(2，＋∞) D．(，＋∞) 227．长方体表面积为11，十二条棱长度的和为24，则长方体的一条对角线长为________． 8．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体(图形)的4个顶点，这些几何体(图形)是________(写出所有正确结论的编号)． ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体． 9．正四棱台的上、下底面边长分别是5和7，体对角线长为9，则棱台的斜高等于________． 10．已知正四棱锥V－ABCD中，底面面积为16，一条侧棱的长为211，求该棱锥的高． 11. 如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ (2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，请说明理由． 12. 如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为29，设这条最短路线与CC1的交点为N，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2)PC和NC的长． 【课后小结】

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